第二基本形式

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第二基本形式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/11/24 00:42 UTC 版)

微分幾何学における第二基本形式（英: second fundamental form）または形テンソル（shape tensor）とは、3次元ユークリッド空間の滑らかな曲面（smooth surface）の接平面上の2次形式を言う。普通、 ${\displaystyle \mathrm {I\!I} }$

第二基本形式の定義

動機

R³の媒介変数表示された曲面 S の第二基本形式は、ガウスによって導入され、研究された。まず、曲面が表面が2回連続的微分可能（continuously differentiable）な関数 z = f(x,y) のグラフであり、平面 z = 0 が原点で曲面に接していると仮定する。そして、 f とそれの x および y に関する偏導関数は、（0,0）でゼロになるとする。それ故、（0,0）での f のテイラー展開は次のように2次の項で始まることになる。

${\displaystyle z=L{\frac {x^{2}}{2}}+Mxy+N{\frac {y^{2}}{2}}+{\text{higher order terms}}\,,}$