古典的な記法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/02 02:24 UTC 版)
一般的な媒介変数表示された曲面の第二基本形式は、次のように定義される。 r = r(u,v) を R3 の曲面の正則（regular）な媒介変数表示とする。ここで、 r は２変数の滑らかなベクトル値関数である。u と v に関する r の偏導関数は ru と rv で表示するのが普通である。媒介変数表示の正則性（regularity）は、r の定義域において 任意の(u,v) に対して ru と rv が線型独立であることを意味する。すなわち、ru と rv は、各点で S の接平面を張る（span）ことになる。同様に、外積 ru × rv は曲面に垂直な非ゼロのベクトルとなる。媒介変数表示は、したがって、単位法線ベクトル n の場を次のように定義する。 n = r u × r v | r u × r v | . {\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}|}}\,.} 第二基本形式はたいてい次のように書かれる。 I I = L d u 2 + 2 M d u d v + N d v 2 , {\displaystyle \mathrm {I\!I} =L\,du^{2}+2M\,du\,dv+N\,dv^{2}\,,} 接平面の基底 {ru, rv} の行列は次のようになる。 [ L M M N ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}L&M\\M&N\end{bmatrix}}\,.} 媒介変数表示による uv 平面における与えられた点での係数 L, M, N は、その点での r の2次偏導関数を、S の法線上に射影することによって与えられ、内積を使用して次のように計算できる。 L = r u u ⋅ n , M = r u v ⋅ n , N = r v v ⋅ n . {\displaystyle L=\mathbf {r} _{uu}\cdot \mathbf {n} \,,\quad M=\mathbf {r} _{uv}\cdot \mathbf {n} \,,\quad N=\mathbf {r} _{vv}\cdot \mathbf {n} \,.} ヘッセ行列 H の符号付き距離場（signed distance field）に対して、第二基本形式の係数は次のように計算される。 L = − r u ⋅ H ⋅ r u , M = − r u ⋅ H ⋅ r v , N = − r v ⋅ H ⋅ r v . {\displaystyle L=-\mathbf {r} _{u}\cdot \mathbf {H} \cdot \mathbf {r} _{u}\,,\quad M=-\mathbf {r} _{u}\cdot \mathbf {H} \cdot \mathbf {r} _{v}\,,\quad N=-\mathbf {r} _{v}\cdot \mathbf {H} \cdot \mathbf {r} _{v}\,.}
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