別の公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/29 06:08 UTC 版)
R3 の中の曲面のガウス曲率は、第二基本形式(second fundamental form)と第一基本形式(first fundamental form)の行列式の比率として表すことができる。 K = det I I det I = L N − M 2 E G − F 2 . {\displaystyle K={\frac {\det II}{\det I}}={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}}.} ブリオッキの公式(Brioschi formula)は、第一基本形式の項だけでガウス曲率を表すことができる。 K = | − 1 2 E v v + F u v − 1 2 G u u 1 2 E u F u − 1 2 E v F v − 1 2 G u E F 1 2 G v F G | − | 0 1 2 E v 1 2 G u 1 2 E v E F 1 2 G u F G | ( E G − F 2 ) 2 {\displaystyle K={\frac {{\begin{vmatrix}-{\frac {1}{2}}E_{vv}+F_{uv}-{\frac {1}{2}}G_{uu}&{\frac {1}{2}}E_{u}&F_{u}-{\frac {1}{2}}E_{v}\\F_{v}-{\frac {1}{2}}G_{u}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{v}&F&G\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}0&{\frac {1}{2}}E_{v}&{\frac {1}{2}}G_{u}\\{\frac {1}{2}}E_{v}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{u}&F&G\end{vmatrix}}}{(EG-F^{2})^{2}}}} 直交なパラメータ化 (つまり、F = 0) に対し、ガウス曲率は、 K = − 1 2 E G ( ∂ ∂ u G u E G + ∂ ∂ v E v E G ) {\displaystyle K=-{\frac {1}{2{\sqrt {EG}}}}\left({\frac {\partial }{\partial u}}{\frac {G_{u}}{\sqrt {EG}}}+{\frac {\partial }{\partial v}}{\frac {E_{v}}{\sqrt {EG}}}\right)} である。 函数 z = F(x, y) のグラフとして表せる曲面に対し、ガウス曲率は、 K = F x x ⋅ F y y − F x y 2 ( 1 + F x 2 + F y 2 ) 2 {\displaystyle K={\frac {F_{xx}\cdot F_{yy}-F_{xy}^{2}}{(1+F_{x}^{2}+F_{y}^{2})^{2}}}} である。 曲面 F(x,y,z) = 0 のガウス曲率は、 K = [ F z ( F x x F z − 2 F x F x z ) + F x 2 F z z ] [ F z ( F y y F z − 2 F y F y z ) + F y 2 F z z ] − [ F z ( − F x F y z + F x y F z − F x z F y ) + F x F y F z z ] 2 F z 2 ( F x 2 + F y 2 + F z 2 ) 2 {\displaystyle K={\frac {[F_{z}(F_{xx}F_{z}-2F_{x}F_{xz})+F_{x}^{2}F_{zz}][F_{z}(F_{yy}F_{z}-2F_{y}F_{yz})+F_{y}^{2}F_{zz}]-[F_{z}(-F_{x}F_{yz}+F_{xy}F_{z}-F_{xz}F_{y})+F_{x}F_{y}F_{zz}]^{2}}{F_{z}^{2}(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+F_{z}^{2})^{2}}}} である。 ユークリッド計量と共形な計量を持つ曲面は、従って、F = 0 であり E = G = eσ である曲面のガウス曲率は、（Δ を通常のラプラス作用素として） K = − 1 2 e σ Δ σ , {\displaystyle K=-{\frac {1}{2e^{\sigma }}}\Delta \sigma ,} と表すことができる。 ガウス曲率は、測地線円の周囲と平面内の円との極限での差異である。 K = lim r → 0 + 3 2 π r − C ( r ) π r 3 {\displaystyle K=\lim _{r\to 0^{+}}3{\frac {2\pi r-C(r)}{\pi r^{3}}}} ガウス曲率は、測地線円板と平面内の円板との極限での差異である。 K = lim r → 0 + 12 π r 2 − A ( r ) π r 4 {\displaystyle K=\lim _{r\to 0^{+}}12{\frac {\pi r^{2}-A(r)}{\pi r^{4}}}} ガウス曲率は、クリストッフェル記号により表すことができる。 K = − 1 E ( ∂ ∂ u Γ 12 2 − ∂ ∂ v Γ 11 2 + Γ 12 1 Γ 11 2 − Γ 11 1 Γ 12 2 + Γ 12 2 Γ 12 2 − Γ 11 2 Γ 22 2 ) {\displaystyle K=-{\frac {1}{E}}\left({\frac {\partial }{\partial u}}\Gamma _{12}^{2}-{\frac {\partial }{\partial v}}\Gamma _{11}^{2}+\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}-\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}\right)}
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