次元論

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次元論

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/10/19 15:15 UTC 版)

「次元」の記事における「次元論」の解説

詳細は「次元 (数学)」を参照 数学では、次元は様々な数学的対象について異なる方法で定義されている。例えば、 ハメル次元 - ベクトル空間の次元。ベクトル空間において、一次独立（線型独立）な生成系の濃度。 多様体や代数多様体の次元 複体のホモロジー次元 可換環のクルル次元。次元論 (代数学)も参照。 環の大域次元 加群の次元（射影次元、移入次元、etc.） 位相次元（トポロジカル次元）ルベーグ被覆次元 帰納次元: 大きな帰納的次元 - 小さな帰納的次元 フラクタル次元 - フラクタル幾何も参照。フラクタルで定義される次元は0以上の実数であり、整数とは限らない。ハウスドルフ次元 相似次元 容量次元（ボックス次元、ボックスカウンティング次元） スペクトル次元 ランダムウォーク次元 ミンコフスキー次元（Minkovski-Bouligand次元） パッキング次元 などが挙げられる。次元の概念は多様であるが、基本はユークリッド空間 Rn の次元が n となることであり、局所的に Rn である空間の次元が n に一致することである。 現代的な次元の概念は、古典的な図形の幾何学がユークリッド空間内の点集合論として一般化される19世紀末から20世紀初頭に掛けて、ポアンカレやブラウワーを萌芽としてメンガーやウリゾーンらの手によって可分な距離空間に対して定式化された。区別のために被覆次元と呼ばれるこの次元の概念はルベーグによれば「可分距離空間 X の任意の有限開被覆に対して高々次数 n + 1 の細分がとれるとき、X の次元は高々 n である」として述べられ、X が高々 n 次元かつ高々 n − 1 次元でないとき X は n 次元であると定義される。たとえば被覆次元が 0 であるというのは、各点が開かつ閉なる近傍を持つことであると述べることができる。そして古典的な意味で次元 n であるユークリッド空間 Rn は被覆次元の意味でも n 次元になる。