次元解析

デジタル大辞泉

じげん‐かいせき【次元解析】

読み方：じげんかいせき

物理法則を表す等式の両辺は必ず同じ次元をもつことを利用して、物理量の間の関数関係を知る方法。

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次元解析

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/09/10 16:48 UTC 版)

次元解析（じげんかいせき、英: dimensional analysis）とは、物理量における、長さ、質量、時間、電荷などの次元から、複数の物理量の間の関係を予測することである。

物理的な関係を表す数式においては、両辺や各項の次元が一致しなくてはならない。この規則を逆に利用すると、既知の量を組み合わせ、求めたい未知の物理量の次元に一致するように式を立てれば、それは正しい関係式になっている可能性が高い。これをレイリーの方法（Rayleigh's method）という。

次元解析を用いると、一般解を得ることが困難な（ときには不可能な）現象に対して、物理量間の関係を推測することができる。一方で、未知の物理量を決めるのに既知の物理量では不十分な場合にそれとわかることもある。また、次元の不一致といったミスの防止にも役立つ。

次元一致の原理

数式の左右両辺の各項の次元が等しい式は次元的に健全または次元的に斉一（homogeneous）であると呼ばれる。物理法則に基いて理論的に導かれる理論式は次元的に健全であり、次元的に健全な式のみ物理では意味があると考える。すなわち物理現象を支配する物理方程式の各項の次元は次元的に健全でなければならない。この原理を次元一致の原理（principle of dimensional consistency）という。

数学的表現

物理量Q がn 個の物理量x_i によって決定されるとき、それらの関係を表す式

$Q=F(x_{1},\dots ,x_{n})$

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概要

前提として、与えられた基本単位は有理数体上のベクトル空間（物理次元ベクトル空間と呼ぶ）の基底であり、物理単位の積はベクトルの和で表され、べき乗はスカラー倍を表すとする。有次元の物理変数を必要な基本単位の指数の組で表す（現れない基本単位に対しては指数はゼロとする）。例えば、重力加速度g は ${\mathsf {LT}}^{-2}$

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次元解析

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/04/13 03:18 UTC 版)

「超越関数」の記事における「次元解析」の解説

次元解析は物理学などで様々な単位の物理量を組み合わせた計算を行う。このとき、超越関数の引数は次元のない値でなければ意味をなさない。このため超越関数が間違いの元になりやすい。例えば、log(10 m）とすることはできない。次元を持つ値に代数的でない操作を行った結果は次元として意味を成さないのである。