スコロホッドの表現定理

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スコロホッドの表現定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/06/05 19:17 UTC 版)

数学および統計学の分野におけるスコロホッドの表現定理（スコロホッドのひょうげんていり、英: Skorokhod's representation theorem）とは、極限測度が十分に良い振る舞い（well-behaved）をする確率測度の弱収束列は、共通の確率空間上で定義される確率変数の各点収束列の分布/法則として表現される、ということを述べた定理である。ウクライナの数学者アナトリー・スコロホッドの名にちなむ。

定理の内容

μ_n, n ∈ N を、位相空間 S 上の確率測度の列とする。μ_n は、n → ∞ に対して、S 上のある確率測度 μ に収束するものとする。また、μ の台は可分であるとする。このとき、共通の確率空間 (Ω, F, P) 上で定義される確率変数 X_n および X で次を満たすようなものが存在する：

• (X_n)_∗(P) = μ_n （すなわち、μ_n は X_n の分布/法則）；
• X_∗(P) = μ （すなわち、μ は X の分布/法則）；
• すべての ω ∈ Ω に対し、X_n(ω) → X(ω) as n → ∞ が成立する。

関連項目

• 分布収束

参考文献

• Billingsley, Patrick (1999). Convergence of Probability Measures. New York: John Wiley & Sons, Inc.. ISBN 0-471-19745-9  （分布収束については p.70 を、スコロホッドの定理については p.333 を参照されたい）