用語法について
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/06 01:19 UTC 版)
「回転 (ベクトル解析)」の記事における「用語法について」の解説
実用に際しては、ほぼ全ての場合において適当な曲線座標系の下で回転作用素を適用することになり、その場合はより平易な表現を導出することができるので、上記の定義をそのまま適用する場面と言うのは希である。 記法 ∇ × F は三次元交叉積との類推が元になっており、∇ をベクトル微分作用素のナブラと考えれば直交座標系における回転作用素の表示に対する記憶術として有効なものである。作用素に対する演算を施すような記法は物理学や代数学では広く用いられる。しかし、ある種の複雑な座標系、例えば（プラズマ物理学で一般的な）極トロイド座標系 (polar-toroidal coordinates) などを考えているときには、記法 ∇ × F を斯くの如き作用素同士の演算と解釈したのでは誤った結果を導くことになる。 直交座標系に関して ∇ × F を展開すれば、ベクトル場 F = (Fx, Fy, Fz) に対して、 ∇ × F = | i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F x F y F z | {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\[5pt]{\dfrac {\partial }{\partial x}}&{\dfrac {\partial }{\partial y}}&{\dfrac {\partial }{\partial z}}\\[5pt]F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}} と書くことができる。ただし、i, j, k はそれぞれ x-軸、y-軸、z-軸方向の単位ベクトルである。 これは ( ∂ F z ∂ y − ∂ F y ∂ z ) i + ( ∂ F x ∂ z − ∂ F z ∂ x ) j + ( ∂ F y ∂ x − ∂ F x ∂ y ) k {\displaystyle \left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} } と書くことと同じである。これは座標を用いた表示だけれども、この式が座標軸に関する真の回転に対しては不変であり、座標軸に関する鏡映では符号が反転することが確認できる。 一般の座標系における回転は ( ∇ × F ) k = ϵ k ℓ m ∂ ℓ F m {\displaystyle (\nabla \times \mathbf {F} )^{k}=\epsilon ^{k\ell m}\partial _{\ell }F_{m}} で与えられる。ここで、ε はエディントンのイプシロンであり、この計量テンソルは F の下付き添字に対するものとして用いられる。またアインシュタインの和の規約に従って和の記号は省略した。 この式はつまり、各座標ベクトル場を ek とすれば ∇ × F = e k ϵ k ℓ m ∂ ℓ F m {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {e} _{k}\epsilon ^{k\ell m}\partial _{\ell }F_{m}} であることを言っているのである。 これはまた、外微分を用いて ∇ × F = [ ⋆ ( d F ♭ ) ] ♯ {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =[\star (\mathbf {d} F^{\flat })]^{\sharp }} と書くこともできる。ここで、 ♭ {\displaystyle \textstyle \flat } と ♯ {\displaystyle \textstyle \sharp } は添字の上げ下げ同型（英語版）であり、 ⋆ {\displaystyle \textstyle \star } はホッジ・スターとする。 この公式を見れば一般座標系で F の回転をどのように計算すべきかがわかり、回転作用素を任意の向きを持つ三次元リーマン多様体に対して一般化することができる。これは向きに依存するから、回転は掌性演算、即ち向きを逆にすれば回転の向きも同じく逆になる。
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