アインシュタインの和の規約

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アインシュタインの縮約記法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/27 04:21 UTC 版)

アインシュタインの縮約記法（アインシュタインのしゅくやくきほう、英: Einstein summation convention）またはアインシュタインの記法（アインシュタインのきほう、英: Einstein notation）、アインシュタインの規約（アインシュタインのきやく、英: Einstein convention）または総和規約^[1]は、添字 (index) の和の記法であり、同じ項で添字が重なる場合はその添字について和を取るというルールである。この重なる指標を擬標（またはダミーの添字、dummy index）、重ならない指標を自由標（またはフリーの添字、free index）と呼ぶ。

一般相対性理論、量子力学、連続体力学、有限要素法などで重宝する。この記法が有用なのは、上下に同じ添字がついているときその添字に対する和（縮約）は座標変換によらないという点である^[2]。

アインシュタインが 1916 年に用いた^[3]。アインシュタインはこの記法を自分の「数学における最大の発見」と（冗談めかして）言ったという^[4]。

例

4 次元空間におけるベクトル a^μ と b_μ (μ = 1, 2, 3, 4) の内積を記すときには、a^μ b_μ と記述される。これは、具体的に書けば

${\displaystyle a^{\mu }b_{\mu }=a^{1}b_{1}+a^{2}b_{2}+a^{3}b_{3}+a^{4}b_{4}}$

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表 話 編 歴 テンソル
Glossary of tensor theory（英語版）
範囲 (Scope)	数学 座標 多重線型代数 ユークリッド幾何学 テンソル代数 微分幾何学 exterior calculus テンソル解析 物理学 • 工学 連続体力学 電磁気学 移動現象論 一般相対性理論 コンピュータビジョン
表記法 (Notation)	添字表記法 多重指数 アインシュタインの縮約記法 リッチ計算法（英語版） ペンローズのグラフ記法 フォークト表記 抽象添字記法 テトラド表記（英語版） ファン・デル・ヴェルデン表示
テンソルの定義	テンソル空間 テンソル場 テンソル密度（英語版） 曲線座標系におけるテンソル（英語版） 混テンソル（英語版） 反対称テンソル 対称テンソル テンソル作用素（英語版） テンソル束（英語版）
算法	テンソル積 楔積 テンソルの縮約 行列（2階テンソル）の転置 添字の上げ下げ（英語版） ホッジ双対 共変微分 外微分 共変外微分（英語版） リー微分
関連事項	次元 基底 ベクトル、ベクトル空間 多重ベクトル（英語版） ベクトルの共変性と反変性 線型写像 行列 スピノール カルタン形式 微分形式 接続形式 測地線 多様体 ファイバー束 曲率形式 レヴィ・チヴィタ接続 アフィン接続
有名なテンソル	数学 クロネッカーのデルタ エディントンのイプシロン 計量テンソル クリストッフェル記号 リッチテンソル リーマン曲率テンソル ワイルテンソル（英語版） 捩率テンソル 物理学 慣性モーメント 角運動量 応力テンソル エネルギー・運動量テンソル 電磁場テンソル グルーオン場の強度テンソル（英語版） アインシュタインテンソル 計量テンソル (一般相対論)（英語版）
数学者	レオンハルト・オイラー カール・フリードリヒ・ガウス オーギュスタン＝ルイ・コーシー ヘルマン・グラスマン グレゴリオ・リッチ＝クルバストロ トゥーリオ・レヴィ＝チヴィタ Jan Arnoldus Schouten（英語版） ベルンハルト・リーマン エルヴィン・クリストッフェル ヴォルデマール・フォークト エリ・カルタン ヘルマン・ワイル アルベルト・アインシュタイン
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