無限に関する様々な数学的概念とは? わかりやすく解説

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無限に関する様々な数学的概念

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/08/05 19:07 UTC 版)

「無限」記事における「無限に関する様々な数学的概念」の解説

無限大 記号∞ (アーベルなどはこれを 1 / 0 のように表記していた)で表す。 大雑把に言えばいかなる数よりも大きいさまを表すものであるが、より明確な意味付け文脈により様々である。例えば、どの実数よりも大きな実数範疇からはずれた)ある特定の“数”と捉えられることもある(超準解析集合基数など)し、ある変量がどの実数よりも大きくなるということを表すのに用いられることもある(極限など)。無限大ある種の数と捉える場合でも、それに適用される計算規則体系1つだけではない。実数拡張としての無限大には ∞ (+∞) と −∞ がある。大小関係を定義できない複素数には無限大概念はないが、類似の概念として無限遠点考えることができる。また、計算機上では(本来なら考えない数だが)たとえば「∞+i」のような数を扱えるものも多い。 無限小(infinitesimal) (0を除く)いかなる数よりも(その絶対値が)小さな数ととられることもある記号あるいは拡張された数。無限大同じく、これは1つの数を表すものではなく限りなく小さくなりうる変数考える。微分積分学における dx などの記号は、これが無限小であるとする考え方は、19世紀通じて否定されるようになったが、20世紀後半からは、超準解析立場から見直されるようになった感覚的に分かり易い思われる直観的な無限大無限小概念ではあるが、現代的な実数論には直接的に存在しないいわゆる ε-δ 論法によって量的に扱われる)。一方で超準解析などにおいては数学的に定式化され、その存在肯定される。 無限遠点 ユークリッド空間で平行に走る線が、交差するとされる空間外の点あるいは拡張され空間における無限遠の点。平行な直線クラスごとに1つ無限遠点があるとする場合射影空間得られる。この場合無限遠点全体1つ超平面無限遠直線無限遠平面 etc.)を構成する。また全体でただ1つ無限遠点があるとする場合は(超)球面得られる複素平面1つ無限遠点 ∞ を追加して得られるリーマン球面理論上きわめて重要である。無限遠点をつけ加えてえられる射影空間超球面はいずれコンパクトになる。 無限集合 有限集合(その要素の数が有限である集合)でない集合。可算無限集合 自然数全体 N からの全単射存在する、すなわち数え上げ可能な無限集合整数全体有理数全体代数的数全体などはそうである。 非可算集合 自然数全体 N からの全単射存在しない、すなわち数え上げ不可能な無限集合実数全体複素数全体などはそうである。 無限小数 その小数表示が有限ではない数。 無限列 数(あるいは点などの要素)に番号付けて無限に並べたもの、つまり長さが無限の数列点列など。より厳密に自然数全体集合 N 上で定義される写像

※この「無限に関する様々な数学的概念」の解説は、「無限」の解説の一部です。
「無限に関する様々な数学的概念」を含む「無限」の記事については、「無限」の概要を参照ください。

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