無限に長い直線電流の周りの磁場
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/21 16:53 UTC 版)
「ビオ・サバールの法則」の記事における「無限に長い直線電流の周りの磁場」の解説
ビオ・サバールの法則は積分することによりアンペールの法則の磁場と一致する。例えば無限に長い直線電流であれば、図より、 r = a sin θ , s = − a tan θ {\displaystyle r={\frac {a}{\sin \theta }},\qquad s=-{\frac {a}{\tan \theta }}} したがって d s d θ = a sin 2 θ {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} \theta }}={\frac {a}{\sin ^{2}\theta }}} となるから、ビオ・サバールの法則を積分して、 H = 1 4 π ∫ − ∞ ∞ I sin θ r 2 d s = 1 4 π ∫ 0 π I sin θ r 2 a sin 2 θ d θ = I 4 π ∫ 0 π sin θ a d θ = I 4 π a [ − cos θ ] 0 π = I 2 π a {\displaystyle {\begin{aligned}H&={\frac {1}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {I\sin \theta }{r^{2}}}\,\mathrm {d} s\\&={\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {I\sin \theta }{r^{2}}}{\frac {a}{\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta ={\frac {I}{4\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \theta }{a}}\,\mathrm {d} \theta ={\frac {I}{4\pi a}}\left[-\cos \theta \right]_{0}^{\pi }\\&={\frac {I}{2\pi a}}\end{aligned}}} を得る。これはアンペールの法則の磁場の大きさと一致する。
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