プラズマの誘電率
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/23 02:49 UTC 版)
プラズマの見方には、それを荷電粒子の集まりと考える見方とともに、それを波動を伝える連続媒質と考える見方が極めて有用である。そして一様定常なプラズマの連続媒質としての性質は誘電率と呼ばれるただ一つのテンソル量によって特徴付けられる。 定義 プラズマ中に電場 E ( r , t ) {\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}},t)} とともにそこに誘起されたプラズマ電流 j p ( r , t ) {\displaystyle {\boldsymbol {j}}_{p}({\boldsymbol {r}},t)} があるとして、電束密度 D ( r , t ) {\displaystyle {\boldsymbol {D}}({\boldsymbol {r}},t)} を ∂ D ∂ t = ε 0 ∂ E ∂ t + j p ( r , t ) {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {D}}}{\partial t}}=\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}+{\boldsymbol {j}}_{p}({\boldsymbol {r}},t)} で定義する。そして正弦波形の波動を表すのに複素数表示を用い、これらの物理量はすべて単色平面波： E ( r , t ) = E ( k , ω ) e i ( k ⋅ r − ω t ) {\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}},t)={\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {k}},\omega )e^{i({\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {r}}-\omega t)}} ：（＊） の形をしているとする。すると線形理論の範囲内で D ( k , ω ) = ε ^ ( k , ω ) ⋅ E ( k , ω ) {\displaystyle {\boldsymbol {D}}({\boldsymbol {k}},\omega )={\hat {\varepsilon }}({\boldsymbol {k}},\omega )\cdot {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {k}},\omega )} と書くことが出来る。ここで ε ^ ( k , ω ) {\displaystyle {\hat {\varepsilon }}({\boldsymbol {k}},\omega )} がプラズマの誘電率である。 誘電率テンソル 磁場中プラズマでは磁場による異方性のため、誘電率はテンソルになる。そしてそのテンソルは、考えている体系が磁場方向を軸として回転対称であるおかげで、次のような特殊な形をしていることが示される。 ε ^ ( k , ω ) = ( ε ⊥ ( k , ω ) − ε T ( k , ω ) 0 ε T ( k , ω ) ε ⊥ ( k , ω ) 0 0 0 ε ‖ ( k , ω ) ) {\displaystyle {\hat {\varepsilon }}({\boldsymbol {k}},\omega )={\begin{pmatrix}\varepsilon _{\perp }({\boldsymbol {k}},\omega )&-\varepsilon _{T}({\boldsymbol {k}},\omega )&0\\\varepsilon _{T}({\boldsymbol {k}},\omega )&\varepsilon _{\perp }({\boldsymbol {k}},\omega )&0\\0&0&\varepsilon _{\|}({\boldsymbol {k}},\omega )\end{pmatrix}}} ただし、ここでは磁場方向を z 方向とした。従ってこのテンソルの独立な成分は ε ⊥ ( k , ω ) , ε ‖ ( k , ω ) , ε T ( k , ω ) {\displaystyle \varepsilon _{\perp }({\boldsymbol {k}},\omega ),\varepsilon _{\|}({\boldsymbol {k}},\omega ),\varepsilon _{T}({\boldsymbol {k}},\omega )} の3つである。 なお一般に、磁場中プラズマではそこでの2つのベクトル量を結びつけるテンソルはすべてこの形をしている。次に述べる電気伝導度テンソルもその例の一つである。 計算法 誘電率 ε ^ ( k , ω ) {\displaystyle {\hat {\varepsilon }}({\boldsymbol {k}},\omega )} を具体的に求めるには、まず上の形の電場を作用させた時にプラズマ中に流れる電子による電流を計算し、その係数 j e ( k , ω ) {\displaystyle {\boldsymbol {j}}_{e}({\boldsymbol {k}},\omega )} から j e ( k , ω ) = σ ^ e ( k , ω ) ⋅ E ( k , ω ) {\displaystyle {\boldsymbol {j}}_{e}({\boldsymbol {k}},\omega )={\hat {\sigma }}_{e}({\boldsymbol {k}},\omega )\cdot {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {k}},\omega )} で表される電気伝導度の電子成分 σ ^ e {\displaystyle {\hat {\sigma }}_{e}} を求める。そして同様にして電気伝導度のイオン成分 σ ^ i {\displaystyle {\hat {\sigma }}_{i}} を求める。すると誘電率は ε ^ ( k , ω ) = ε 0 1 ^ + i ω σ ^ e ( k , ω ) + i ω σ ^ i ( k , ω ) {\displaystyle {\hat {\varepsilon }}({\boldsymbol {k}},\omega )=\varepsilon _{0}{\hat {\boldsymbol {1}}}+{\frac {i}{\omega }}{\hat {\sigma }}_{e}({\boldsymbol {k}},\omega )+{\frac {i}{\omega }}{\hat {\sigma }}_{i}({\boldsymbol {k}},\omega )} と求まる（ここで 1 ^ {\displaystyle {\hat {1}}} は単位テンソルを表す）。その際、電流を求めるために使用した方程式系の近似の程度により、その近似に従った誘電率が得られる。 分散 誘電率が ω {\displaystyle \omega } に依存するのは、電流を形成する荷電粒子が過去に経験した電場の履歴を憶えていて、それが現在の電流にも影響するために起きる現象である。これは通常の誘電体にもあり、光の色の分散を引き起こすもととなる性質なので、単に「分散(dispersion)」、あるいは「時間分散（temporal dispersion)」 と呼ばれる。 それに対して誘電率が k {\displaystyle {\boldsymbol {k}}} に依存する現象は、荷電粒子が他の場所での電場を経験してやってくるために起こる現象なので固体誘電体には存在せず、プラズマに特徴的な性質である。これを「空間分散（spatial dispersion)」という。 誘電率の縦成分 ε ℓ ( k , ω ) = k ⋅ ε ^ ( k , ω ) ⋅ k / k 2 {\displaystyle \varepsilon _{\ell }({\boldsymbol {k}},\omega )={\boldsymbol {k}}\cdot {\hat {\varepsilon }}({\boldsymbol {k}},\omega )\cdot {\boldsymbol {k}}/k^{2}} というスカラー量を誘電率の縦成分と言う。これは比較的簡単な形に得られ、いろいろな局面で現れる重要な量である。とくに ω = 0 {\displaystyle \omega =0} の場合には簡単になって ε ℓ ( k , 0 ) = ε 0 ( 1 + k D 2 k 2 ) {\displaystyle \varepsilon _{\ell }({\boldsymbol {k}},0)=\varepsilon _{0}(1+{\frac {k_{D}^{2}}{k^{2}}})} となり、これはプラズマ中のデバイ遮蔽の効果を表す。ここで k D {\displaystyle k_{D}} はデバイ波数（デバイの長さの逆数）である。実際、静止点電荷q の周りのポテンシャルを 誘電体中の電磁場のマクスウェル方程式の一つ d i v D = q δ ( r ) {\displaystyle div{\boldsymbol {D}}=q\delta ({\boldsymbol {r}})} からフーリエ変換を用いて求めるときには、計算の途中にこの: ε ℓ ( k , 0 ) {\displaystyle \varepsilon _{\ell }({\boldsymbol {k}},0)} が現れ、最終的にはデバイ-ヒュッケルのポテンシャルが得られる。このようにして、誘電率がプラズマの連続媒質としての性質を的確に表現していることが分かる。
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