Data Envelopment Analysisとは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

DEA

読み方：でぃーいーえい
【英】：DEA (data envelopment analysis)

概要

事業体などの効率性を相対的に評価する手法として, 包絡分析法 (DEA) は1978年にチャーンズ・クーパー・ローズ (Charnes, Cooper and Rhodes) によって提案された. できるだけ少ない入力でできるだけ多くの出力を出す(出力/入力が大)ほど望ましいと考え, 多入力・多出力の場合にも出力の加重和(仮想的出力)と入力の加重和(仮想的入力)をとってそれらの比が大きいほど望ましいとしている. 線形計画法を用いた様々な定式化が提案されている.

詳説

　事業体などの意思決定主体 (Decision Making Unit : 略して DMUと呼ばれる) の効率性を相対的に評価する手法として, 包絡分析法(Data Envelopment Analysis：略称DEA)は1978年にアメリカのテキサス大学のCharnes,Cooper and Rhodes [1] によって提案された. 支出と収入の比である収支率は経営効率性を見るための一つの尺度であり, 支出は収入を産み出すための入力, 収入はその結果としての出力とみるとき, 収入／支出(収支率の逆数)が大きい程, 効率が良いと言える. しかし, 入力や出力の数が増え, しかもそれらが必ずしも金額で計量できない場合には効率をどのように評価するか, 適切な尺度を考えなければならない. また, すべての項目が金額で測れるとしても例えば入力個々の出力に与える影響は異なっており, 単純に(出力の和)／(入力の和)で効率を測ることは適切でないことも多い. そのような場合に仮想的出力として出力の加重和をとり, 仮想的入力として入力の加重和をとってそれらの比で比較することが考えられる. 加重和を取るときに用いるウェイトに説得力を持たせる必要がある. DEAでは評価対象 DMUにとって最も有利になるようにウェイトを決めることにしている. しかし, その最も有利になるウェイトを用いても他のDMUよりも仮想的出力／仮想的入力の値が小さければ, そのDMUは効率的でないといわれても仕方がない. このような考え方に基づいて分数計画問題CCR-IR (Charnes, Cooper and Rhodes'Input-oriented Ratio form)モデルおよびそれを線形計画問題に変換した CCRモデル [ $CCR_P\,$ (主問題 primal), $CCR_D\,$ (双対問題 dual)モデル]が提案された [1]. Farrellは効率的な生産関数を「入力の組合せが与えられたときに完全に効率的な企業であれば達成するであろう出力」と定義した [2]. その考え方から得られる効率性得点をFarrellは技術的効率性と呼んだ [2]が, それはCCRモデルから得られる効率性得点と一致し, 効率性得点はファレルの効率尺度とも呼ばれる.

　 $n\,$ 個の事業体(DMU)に関する $m\,$ 個の入力データ $X=(x_{ij})\in \mathbf{\mathrm{R}}^{m\times n}\,$ と $s\,$ 個の出力データ $Y=(y_{ij})\in \mathbf{\mathrm{R}}^{s\times n}\,$ をもとに着目 DMU $J(=1,2,...,n)\,$ の効率性を測定する $CCR_P\,$ -I(入力指向)モデルは次のように定式化される(このほかの定式化についてはCCRモデルを参照).

【 $CCR_P\,$ -I：入力指向】

$\mbox{min.}\,$	$\theta_{J}\,$
$\mbox{s. t. }\,$	$\theta_{J}x_{iJ}-\sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}x_{ij} \geq 0 \ (i=1, 2,\ldots ,m), \,$
	$y_{rJ}-\sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}y_{rj} \leq 0 \ (r=1, 2, \ldots ,s), \,$
	$\lambda_{j} \geq 0 \ (j=1, 2, \ldots ,n). \,$

　このモデルは入力に着目しており, DMU $J\,$ の入力が他と比べて大きく $\tilde{x}_{ij}=\theta_{J}x_{ij} \; (\theta_{J}\leq 1)\,$ に縮小したいとすると, 制約条件で規定される生産可能集合( $\textstyle \tilde{x}_{i}\geq \sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}x_{ij}\,$ と $\textstyle \tilde{y}_{r}\leq \sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}y_{rj}\,$ を満たす $(\tilde{\mathbf x}, \tilde{\mathbf y})\,$ の集合)内でどこまで $\theta_J\,$ を小さくできるかということを考えている.

　しかし, 包絡分析法で用いられる入力変数や出力変数の中には DMUが努力しても改善できないものがある. そのような DMU 自身で制御できない変数を制御不能変数と呼び, それに対して努力により改善可能な変数を制御可能変数と呼ぶ. 制御不能変数が存在する場合には入力, 出力変数に関する制御可能変数番号の集合を $X^C\,$ , $Y^C\,$ とし, 制御不能変数番号の集合を $X^{NC}\,$ , $Y^{NC}\,$ とすると, $CCR_P\,$ -Iモデルは次のように修正される.

【制御不能変数を考慮するモデル】

$\mbox{min.}\,$	$\theta_{J}\,$
$\mbox{ s. t. }\,$	$\theta_{J}x_{iJ}-\sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}x_{ij} \geq 0 \ (i\in X^{C}), \,$
	$y_{rJ}-\sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}y_{rj} \leq 0 \ (r\in Y^{C}), \,$
	$x_{iJ}\geq \sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}x_{ij} \ (i\in X^{NC}), \,$
	$y_{rJ}\leq \sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}y_{rj} \ (r\in Y^{NC}), \,$
	$\lambda_{j} \geq 0 \; (j=1, 2, \ldots ,n). \,$