基底（きてい、英: fin base, base of fin）
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/13 06:02 UTC 版)
「魚類用語」の記事における「基底（きてい、英: fin base, base of fin）」の解説
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基底
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/23 09:39 UTC 版)
詳細は「基底 (線型代数学)」を参照 定理 ベクトル空間 V を張る任意の生成系 S は、少なくとも V の任意の線型独立系と同じ数のベクトルを含まなければならない。 定理 V が有限次元ベクトル空間ならば、V を張る任意の生成系は、必要ならば（すなわち、線型従属なベクトルが存在するならば）適当な元を取り除くことによって V の基底にすることができる。選択公理を認めるならば、有限次元という仮定は除いてよい。 以上から、基底は V の最小生成系と言ってもよいことがわかる。
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基底
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2012/06/15 12:09 UTC 版)
ヴィット環を円周上のベクトル場のリー環として考えたとき、その基底は整数 n に対して によって与えられる。 2つのベクトル場の括弧積は、基底における積 を線型に拡張したもので与えられる。ヴィット環はヴィラソロ代数と呼ばれる中心拡大を持つ。ヴィラソロ代数は共形場理論や弦理論において重要である。
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基底
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/11 15:05 UTC 版)
A の列ベクトルは列空間を張るが、それらが線型独立でない場合には基底を形成しないこともあり得る。幸運なことに、行列の基本変形は列ベクトルの間の依存関係に影響を与えない。このことは、列空間の基底を見つけるためにガウスの消去法を使用することを可能にする。 例えば、行列 A = [ 1 3 1 4 2 7 3 9 1 5 3 1 1 2 0 8 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}{\text{ }}} を考える。この行列の列ベクトルは、列空間を張るが、線型独立でない可能性もあり、その場合にはそれら列ベクトルの集合のある部分集合が、基底を形成する。この基底を見つけるために、A を行既約階段形へと書き下す： [ 1 3 1 4 2 7 3 9 1 5 3 1 1 2 0 8 ] ∼ [ 1 3 1 4 0 1 1 1 0 2 2 − 3 0 − 1 − 1 4 ] ∼ [ 1 0 − 2 1 0 1 1 1 0 0 0 − 5 0 0 0 5 ] ∼ [ 1 0 − 2 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&3&1&4\\0&1&1&1\\0&2&2&-3\\0&-1&-1&4\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&1\\0&1&1&1\\0&0&0&-5\\0&0&0&5\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}{\text{ }}} この時点で、第一、第二、第四の列ベクトルは線型独立であることが明白になるが、第三の列ベクトルははじめの二つの列ベクトルの線形結合となっている（具体的に、v3 = −2v1 + v2 である）。したがって、もとの行列の第一、第二および第四の列ベクトル [ 1 2 1 1 ] , [ 3 7 5 2 ] , [ 4 9 1 8 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\2\\1\\1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}3\\7\\5\\2\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}4\\9\\1\\8\end{bmatrix}}} が、その行列の列空間の基底である。ここで、行既約階段形の独立な列ベクトルは、ピボット（英語版）を伴う列ベクトルであることに注意されたい。このことから、階段形へと書き下すことのみで、どの列ベクトルが線型独立であるか決定することが可能となる。 上述の計算法は一般的に、任意のベクトルの集合の間の依存関係を調べるため、および任意の張られる集合から基底を見つけるために用いられる。張られる集合から基底を見つけるための異なる計算方法は、記事「行空間」で述べられている：すなわち、A の列空間の基底を見つけることは、転置行列 AT の行空間の基底を見つけることと同値なのである。
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基底
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/11 15:06 UTC 版)
行空間は、行に関する基本変形には影響されない。このことから、行空間の基底を見つけるためにガウスの消去法を使用することが可能となる。 例えば、行列 A = [ 1 3 2 2 7 4 1 5 2 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&7&4\\1&5&2\end{bmatrix}}} を考える。この行列の行は、行空間を張るが、それらは線型独立でないこともあり得る。そのような場合、それらは基底にはならない。ここでは行列 A の基底を見つけるために、行階段形へと A を書き下す： r1、r2、r3 は行列 A の各行を表す。 [ 1 3 2 2 7 4 1 5 2 ] ∼ ⏟ r 2 − 2 r 1 [ 1 3 2 0 1 0 1 5 2 ] ∼ ⏟ r 3 − r 1 [ 1 3 2 0 1 0 0 2 0 ] ∼ ⏟ r 3 − 2 r 2 [ 1 3 2 0 1 0 0 0 0 ] ∼ ⏟ r 1 − 3 r 2 [ 1 0 2 0 1 0 0 0 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\2&7&4\\1&5&2\end{bmatrix}}\underbrace {\sim } _{r_{2}-2r_{1}}{\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\1&5&2\end{bmatrix}}\underbrace {\sim } _{r_{3}-r_{1}}{\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\0&2&0\end{bmatrix}}\underbrace {\sim } _{r_{3}-2r_{2}}{\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\underbrace {\sim } _{r_{1}-3r_{2}}{\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}} 行列が階段形になれば、そのときの非ゼロの行が行空間の基底となる。今回の場合、基底は { (1, 3, 2), (0, 1, 0) } となる。他にあり得る基底として、さらなる書き下しの結果、{ (1, 0, 2), (0, 1, 0) } を得ることが出来る。 この計算方法は、ベクトルの集合の張る部分空間の基底を見つけるために、一般的に用いられる。行列がさらに行既約階段形へと簡略化されるなら、その結果として得られる基底は行空間により一意的に定められる。
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