基底を用いた定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/19 10:05 UTC 版)
共通の体 F 上のベクトル空間 V, W に対して、V の基底 B = {ξ1, ξ2, …, ξn} および W の基底 B′ = {η1, η2, …, ηm} をとるとき、これらの直積 B × B′ が生成する nm-次元の自由ベクトル空間 V ⊗ F W ( = V ⊗ W ) := span F ( ( ξ i , η j ) ∣ 1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ m ) {\displaystyle V\otimes _{F}W(=V\otimes W):=\operatorname {span} _{F}((\xi _{i},\eta _{j})\mid 1\leq i\leq n,1\leq j\leq m)} を V と W との F 上のテンソル積と呼ぶ。V ⊗ W の元としての順序対 (ξi, ηj) は記号 "⊗" を用いて ξi ⊗ ηj と書くことにすれば、V × W の任意の元は適当な有限個のスカラー cij を用いて ∑ i , j c i j ( ξ i ⊗ η j ) {\displaystyle \sum _{i,j}c_{ij}(\xi _{i}\otimes \eta _{j})} の形の有限和に表される。これにより、任意のベクトル v ∈ V および w ∈ W のテンソル積 v ⊗ w が定義できる。実際、基底ベクトル ξ ∈ V と η ∈ W のテンソル積 ξ ⊗ η ∈ V ⊗ W は与えられているから、任意のベクトルの積はこれを双線型な仕方で拡張して得られる。すなわち v = ∑ i a i ξ i , w = ∑ j b j η j {\displaystyle v=\sum _{i}a_{i}\xi _{i},\quad w=\sum _{j}b_{j}\eta _{j}} に対して、これらのテンソル積は v ⊗ w := ∑ i , j a i b j ( ξ i ⊗ η j ) {\displaystyle v\otimes w:=\sum _{i,j}a_{i}b_{j}(\xi _{i}\otimes \eta _{j})} と定められる。ベクトルのテンソル積は以下の性質を満たす: ベクトル v, v′, v″ ∈ V および w, w′, w″ ∈ W とスカラー λ ∈ F に対して ( v ′ + v ″ ) ⊗ w = v ′ ⊗ w + v ″ ⊗ w {\displaystyle (v'+v'')\otimes w=v'\otimes w+v''\otimes w} (1) v ⊗ ( w ′ + w ″ ) = v ⊗ w ′ + v ⊗ w ″ {\displaystyle v\otimes (w'+w'')=v\otimes w'+v\otimes w''} (2) ( λ v ) ⊗ w = λ ( v ⊗ w ) = v ⊗ ( λ w ) {\displaystyle (\lambda v)\otimes w=\lambda (v\otimes w)=v\otimes (\lambda w)} (3) すなわち、写像 ⊗: V × W → V ⊗ W; (v, w) ↦ v ⊗ w は F-双線型写像である。これらの性質は、テンソル積がベクトルの和に対して分配的であり、スカラー倍に対して結合的であるように捉えることができる（これらが「積」と呼ぶ由縁である）。 ベクトルのテンソル積は一般には可換でない。実際、V ≠ W のとき v ∈ V, w ∈ W に対して、それらのテンソル積は v ⊗ w ∈ V ⊗ W および w ⊗ v ∈ W ⊗ V で属する空間自体が異なる。また V = W のときでも v ⊗ w と w ⊗ v は一般には異なる。
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