この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。出典検索? "ガンマ分布" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL （2016年10月
ガンマ分布
確率密度関数
累積分布関数
母数
k
>
0
{\displaystyle k>0}
形状母数（英語版 ）
θ
>
0
{\displaystyle \theta >0}
尺度母数（英語版 ）
λ
=
1
θ
>
0
{\displaystyle \lambda ={\frac {1}{\theta }}>0}
台
[
0
,
∞
)
{\displaystyle [0,\infty )}
確率密度関数
1
Γ
(
k
)
θ
k
x
k
−
1
e
−
x
/
θ
=
λ
k
Γ
(
k
)
x
k
−
1
e
−
λ
x
{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (k)\,\theta ^{k}}}x^{k-1}e^{-x/\theta }={\frac {\lambda ^{k}}{\Gamma (k)}}x^{k-1}e^{-\lambda x}}
累積分布関数
γ
(
k
,
x
/
θ
)
Γ
(
k
)
=
γ
(
k
,
λ
x
)
Γ
(
k
)
{\displaystyle {\frac {\gamma (k,x/\theta )}{\Gamma (k)}}={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{\Gamma (k)}}}
期待値
k
θ
=
k
λ
{\displaystyle k\theta ={\frac {k}{\lambda }}}
中央値
単純な閉形式を持たない 最頻値
(
k
−
1
)
θ
=
k
−
1
λ
for
k
≧
1
{\displaystyle (k-1)\theta ={\frac {k-1}{\lambda }}\ {\text{ for }}k\geqq 1}
分散
k
θ
2
=
k
λ
2
{\displaystyle k\theta ^{2}={\frac {k}{\lambda ^{2}}}}
歪度
2
k
{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {k}}}}
尖度
6
k
{\displaystyle {\frac {6}{k}}}
エントロピー
k
+
ln
θ
+
ln
Γ
(
k
)
+
(
1
−
k
)
ψ
(
k
)
{\displaystyle k+\ln \theta +\ln \Gamma (k)+(1-k)\psi (k)}
=
k
−
ln
λ
+
ln
Γ
(
k
)
+
(
1
−
k
)
ψ
(
k
)
{\displaystyle =k-\ln \lambda +\ln \Gamma (k)+(1-k)\psi (k)}
モーメント母関数
1
(
1
−
θ
t
)
k
=
(
λ
λ
−
t
)
k
{\displaystyle {\frac {1}{(1-\theta \,t)^{k}}}=\left({\frac {\lambda }{\lambda -t}}\right)^{k}}
for
t
<
1
θ
=
λ
{\displaystyle {\text{ for }}t<{\frac {1}{\theta }}=\lambda }
特性関数
1
(
1
−
i
θ
t
)
k
=
(
λ
λ
−
i
t
)
k
{\displaystyle {\frac {1}{(1-i\,\theta \,t)^{k}}}=\left({\frac {\lambda }{\lambda -it}}\right)^{k}}
テンプレートを表示
確率論 および統計学 において、ガンマ分布 (ガンマぶんぷ、英 : gamma distribution ) は連続確率分布 の一種である。その性質は形状母数 k 、尺度母数 θ の2つの母数 で特徴づけられる。主に信頼性工学 における電子部品の寿命分布や通信工学 におけるトラフィックの待ち時間分布に応用される。また所得分布にも応用される。
定義と性質 ガンマ分布は、確率密度関数 が形状母数（英語版 ） k > 0尺度母数（英語版 ） θ > 0
f
(
x
)
=
1
Γ
(
k
)
θ
k
x
k
−
1
e
−
x
/
θ
f
o
r
x
>
0
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\Gamma (k)\,\theta ^{k}}}x^{k-1}e^{-x/\theta }\ \ \ \ \mathrm {for\ } x>0}
で定義される分布である。ここで、Γ(k ) はガンマ関数 である。
等価な定義として、パラメータ λ = 1 / θ
f
(
x
)
=
λ
k
Γ
(
k
)
x
k
−
1
e
−
λ
x
f
o
r
x
>
0
{\displaystyle f(x)={\frac {\lambda ^{k}}{\Gamma (k)}}x^{k-1}e^{-\lambda x}\ \ \ \ \mathrm {for\ } x>0}
このとき、ガンマ分布の累積分布関数 は次のように表される。
F
(
x
)
=
∫
0
x
f
(
u
)
d
u
=
γ
(
k
,
x
/
θ
)
Γ
(
k
)
=
γ
(
k
,
λ
x
)
Γ
(
k
)
{\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}f(u)\,du={\frac {\gamma (k,x/\theta )}{\Gamma (k)}}={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{\Gamma (k)}}}
ここで γ は不完全ガンマ関数 である。
平均・分散 ガンマ分布の確率変数 を X とするとき、平均 E (X )分散 V (X )
E
(
X
)
=
k
θ
=
k
λ
{\displaystyle E(X)=k\theta ={\frac {k}{\lambda }}}
V
(
X
)
=
k
θ
2
=
k
λ
2
{\displaystyle V(X)=k\theta ^{2}={\frac {k}{\lambda ^{2}}}}
特性関数 ガンマ分布の確率変数 を X とするとき、特性関数 φX (t )
ϕ
X
(
t
)
=
E
(
e
i
X
t
)
=
1
(
1
−
i
θ
t
)
k
=
(
λ
λ
−
i
t
)
k
{\displaystyle \phi _{X}(t)=E(e^{iXt})={\frac {1}{(1-i\,\theta \,t)^{k}}}=\left({\frac {\lambda }{\lambda -it}}\right)^{k}}
で与えられる。
これはパラメータ（平均）θ とする指数分布 の特性関数を k 乗したものに一致する。このことは、特に k を整数としたときに、パラメータ θ の指数分布 に従う k 個の確率変数が独立であるとき、その和が形状母数 k 、尺度母数 θ のガンマ分布に従うことを表している。
再生性 ガンマ分布は再生性 を有する。すなわち、パラメータに形状母数 k 1 θ を持つガンマ分布の確率変数を X 1 k 2 θ を持つガンマ分布の確率変数を X 2 X 1 + X 2 k 1 + k 2 θ のガンマ分布に従う。
他の分布との関係 以下の分布はガンマ分布の特別な場合である。
指数分布
特に k = 1θ とする指数分布 に帰着する。 アーラン分布
k が整数 である場合、このガンマ分布はアーラン分布 に帰着する。また、尺度母数（平均値）に θ を持つ互いに独立な n 個の指数分布の和は、パラメータに形状母数 n と尺度母数 θ を持つガンマ分布（アーラン分布）となる。カイ二乗分布
k = n / 2 n = 1, 2, …)θ = 2n のカイ二乗分布 に帰着する。関連項目 離散単変量で 離散単変量で 連続単変量で 連続単変量で 連続単変量で 連続単変量で 混連続-離散単変量 多変量 (結合) 方向 退化 と特異 族 サンプリング法（英語版 ）
