ウィグナー関数

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ウィグナー関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/16 13:56 UTC 版)

ウィグナー関数（ウィグナーかんすう、英: Wigner function）とは、ユージン・ウィグナーにより1932年に導入された、古典統計力学を量子補正するための関数である。その目標は、シュレーディンガー方程式に表われる波動関数を位相空間上の確率分布と結びつけることであった。ウィグナーの擬確率分布関数（英: Wigner quasiprobability distribution）、ウィグナー・ビレ分布 (英: Wigner–Ville distribution) とも。

ウィグナー関数は量子力学的波動関数 ψ(x) のすべての空間的自己相関の母関数である。 従って、ウィグナー関数と密度行列との間の写像により、実位相空間上の関数とヘルマン・ワイルが1927年に導入したエルミート演算子とを表現論的な文脈で対応づけられる(ワイル量子化)。ウィグナー関数は密度行列をウィグナー・ワイル変換したものとみなすことができ、よって密度行列の位相空間上での表現とみなせる。1948年、ジャン・ビレによって独立にスペクトログラムの一種、信号エネルギーの局所時間・周波数表示方法として再導入された。

1949年、ホセ・エンリケ・モヤルは量子化された運動量の母関数としてウィグナー関数を再導入し、これを用いて全ての量子期待値を計算する方法を確立し、位相空間上における量子力学の基礎を築いた（位相空間表示を参照）。統計力学、量子化学、量子光学、古典光学、および電子工学、地震学、音楽の時間周波数解析、生物学のスペクトログラム、音声合成、エンジンの設計など、信号処理を伴う幅広い分野で応用されている。

古典力学との関係

古典力学的には、粒子は決まった位置と運動量を持ち、その運動状態は位相空間上の一点により表現される。多数の粒子の集合体が与えられたとき、位相空間内の特定の領域に粒子をみいだす確率はリウビル確率密度と呼ばれる確率密度関数に従う。しかし、このような決定論的な取扱いは量子力学的な粒子に対しては不確定性原理のために不可能である。ウィグナー関数は古典的な確率密度分布と同様に取り扱うことができるが、ウィグナー関数は古典的な確率密度関数の満すべき条件を全て満たしてはいない。そのかわり、古典的な分布が必ずしも満たさない有界性を満たしている。

たとえば、ウィグナー関数は古典的分布ではありえない負値をとることがよくある。そして、ウィグナー関数が負値をとることは量子干渉が起きていることを示す指標である。ウィグナー関数にディラック定数 ħ よりも小さな位相空間体積における構造を無視するような処理(たとえば 伏見表示（後述)を得るために位相空間上のガウス関数で畳み込むなど）を施すと、半正定値関数となり半古典形式に粗視化できる。

負の値をとる領域が存在しても、（幅の小さいガウス関数と畳み込んだ場合）多くの場合その領域は「小さく」なる。つまり、その領域は ħ の数倍より大きくなることはなく、そのため古典極限においては消滅する。 これは、位相空間上で ħ よりも小さな体積をもつ領域に粒子の運動状態を特定することはできないとする不確定性原理による遮蔽であり、「負の確率」という概念の矛盾を軽減している。

定義と意味

ψ を波動関数とし、x, p をそれぞれ位置および運動量、または他の正準共役量（例えば電磁場の実部および虚部、もしくは信号における時間と周波数など)とすると、ウィグナー関数 P(x, p) は以下のように定義される。

$P(x,p)~{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}~{\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x+y)\psi (x-y)e^{2ipy/\hbar }\,\mathrm {d} y\,$ 図1: それぞれ a) 真空、 b) n = 1 のフォック状態 (例：単一光子)、 c) n = 5 のフォック状態、のウィグナー関数。 P(x, p) は実関数である。 x および p の確率密度関数は次の周辺確率により与えられる。 $\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} p\,P(x,p)=\langle x|{\hat {\rho }}|x\rangle$ 図2: 単純な調和振動子の、位相空間の原点からずれた基底状態（コヒーレント状態）を表すウィグナー関数。（クリックして動画を表示）古典力学の場合と同じように、剛体回転している。これは単純な調和振動子に特異な性質である。一般教育ウェブサイトより。 ウィグナー変換は、ヒルベルト空間上の作用素 ˆG を位相空間上の関数 g(x,p) へと写す可逆な変換であり、以下のように定義される。 $g(x,p)=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} s~e^{ips/\hbar }\langle x-{\frac {s}{2}}|\ {\hat {G}}\ |x+{\frac {s}{2}}\rangle$ 図3: 量子フリップフロップ: 単純調和振動子の基底状態と第一励起状態の重ね合わせ状態を表すウィグナー関数。位相空間での剛体回転は座標空間での振動を表わす。 （クリックして動画を表示） この項で取り扱ってきたウィグナー関数 P(x,p) は、密度行列 ˆρ をウィグナー変換したものと捉えることができる。よって、ある作用素と密度行列をかけたもののトレースは、その作用素をウィグナー変換したもの g(x, p) と、ウィグナー関数との位相空間上の重なり積分と等しい。 シュレーディンガー描像における密度行列の時間発展を記述する、フォン・ノイマン方程式のウィグナー変換は ウィグナー関数に対するモヤル方程式 ${\partial P(x,p,t) \over \partial t}=-\{\{P(x,p,t)~,~H(x,p)\}\}$ 図4: モースポテンシャル: $U(x)=20(1-e^{-0.16x})^{2}$ 図5: 4次ポテンシャル: $U(x)=0.1x^{4}$ 図6: ポテンシャル障壁を越える量子トンネリング: $U(x)=8e^{-0.25x^{2}}$ 図7: チャープトパルス光のウィグナー・ビレ分布の等高線図。この図により周波数が時間の線形な関数になっていることが一目でわかる。 望遠鏡や光ファイバー通信機器の設計において、ウィグナー関数は単純なレイトレーシングと波形解析とのギャップを埋めるために用いられる。ここで近軸近似の下では、p/ħ は k = |k|sinθ ≈ |k|θ と置き換えられる。この文脈では、ウィグナー関数は干渉の影響をとりこんだまま光線の位置 x と角度 θ で系を取り扱う最善の方法である。ウィグナー関数がいずれかの点で負になった場合、単純なレイトレーシングでは系をモデル化するのに不十分であることを示している。 信号解析においては、時間変化する電気信号、機械的振動、音波などをウィグナー分布により解析することがある。ここで、x は時間、 p/ħ は角振動数 ω = 2πf（f は振動数）に置き換えられる。 超高速光学において、短レーザーパルスは上と同じように f および t で置換されたウィグナー関数により特徴づけられる。チャープ（周波数の時間依存性）などのパルスの乱れをウィグナー関数により可視化することができる。図7を参照。 量子光学では、 x および  p/ħ を X 及び P 成分、電磁場の実部と虚部に置き換える（コヒーレント状態も参照）。 図1は光の量子状態を示している。 ウィグナー関数の測定 トモグラフィー ホモダイン検出 FROG (Frequency-resolved optical gating) 関連する他の擬確率分布 ウィグナー関数は初めて定式化された擬確率分布関数であるが、多くの形式的に等価で相互変換可能な擬確率分布関数が提案されている（時間周波数分析の分布関数間の変換を参照）。座標系の場合と同じように、変化する特性を扱う場合それぞれの関数に用途にあわせた様々な利点がある。 グラウバーのP表示 伏見のQ表示 しかし、ウィグナー関数はこれらの関数のなかでも、ある意味で特別な地位を占めている。ウィグナー関数は上に示したように、期待値の計算にスター積を必要としない唯一の関数である。また、擬確率分布を古典的な分布と比較できる形で可視化することもできる。 歴史的注意 上に示したとおり、ウィグナー関数の形式化はいくつかの分野で独立に数回行われている。実際、ウィグナーは同じ量子論の分野でも、純粋に形式的なものにせよハイゼンベルクとディラックにより既に導入されていたことに気付いていなかった。この二人はウィグナー関数を完全に量子化された系の近似的形式化と考えており、この関数の重要さ、そして負値の重要さに気付いていなかった（偶然、ディラックは後にウィグナーの妹マルギット(Manci)と結婚したことによりウィグナーの義理の弟となった）。同様に、1940年代中頃の伝説的な18ヶ月にわたるモヤルとのやりとりにおいて、ディラックは後にモヤルが指摘するまでモヤルの量子運動量生成関数がウィグナー関数と等価であることに気付いていなかった。 関連文献 Levanda, M.; Fleurov, V. (2001). “Wigner quasi-distribution function for charged particles in classical electromagnetic fields”. Annals of Physics 292: 199–231. arXiv:cond-mat/0105137.  関連項目 ハイゼンベルク群 ウィグナー・ワイル変換 位相空間表示 モヤル括弧 負の確率 修正ウィグナー分布 コーエンクラスの分布関数 ウィグナー分布 時間周波数分析における分布間変換 スクイーズドコヒーレント状態 双線型時間周波数分布 外部リンク Wigner function tutorial and Gallery of WFs, Institute for Quantum Information Science (IQIS), University of Calgary Quantum Optics Gallery