Green's theoremとは？わかりやすく解説

グリーンの定理（グリーンのていり、英: Green's theorem）は、ベクトル解析の定理である^[1]^[2] 。イギリスの物理学者ジョージ・グリーンが導出した。２つの異なる定理がそれぞれグリーンの定理と呼ばれる。詳細は以下に記す。注: グリーンの恒等式もグリーンの定理と呼ばれることがある。

グリーンの定理（2次元）

2重積分と線積分との関係を表す数学公式である。これを3次元に拡張したものがストークスの定理であり、また一般化されたストークスの定理の特殊な場合（2次元空間内の1次微分形式と2次微分形式の関係式）とも考えられる。

公式

閉曲線 C で囲まれた領域 D を考える場合、C¹ 級関数 P(x, y), Q(x, y) について、以下が成り立つ。

$\oint _{C}(P\mathrm {d} x+Q\mathrm {d} y)=\iint _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\mathrm {d} y$