どう‐ち【同値】
同値
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/02/22 05:29 UTC 版)
同値（どうち）または等価（とうか）とは、2つの命題が共に真または共に偽のときに真となる論理演算である。 英語ではequivalence (EQ)。「if and only if（～のとき、かつそのときに限る）」を略して、iff ともいう。否定排他的論理和 (XNOR) に等しい。 演算子記号は ⇔、↔、≡、=、EQ などが使われる。
真理値表
| 命題 P | 命題 Q | P ⇔ Q |
|---|---|---|
| 真 | 真 | 真 |
| 真 | 偽 | 偽 |
| 偽 | 真 | 偽 |
| 偽 | 偽 | 真 |
性質
基本的な性質
同値の基本的な性質は以下の通り。
（
「必要」はこの項目へ転送されています。「必要」の語義については、ウィクショナリーの「必要」の項目をご覧ください。
二つの条件 p 、q に対して、「 p を満たすものは全て q も満たす 」 というとき、「 p は q である為の十分条件である 」 あるいは 「 q は p である為の必要条件である 」 という。
また、「 p は q である為の十分条件であり、q は p である為の十分条件である 」 というとき、「 p は q である為の必要十分条件である 」 あるいは 「 p と q とは同値である 」 という。
例 1
ある数が4の倍数である為には、その数は少なくとも偶数である必要がある。つまり、偶数であることは、4の倍数である為の必要条件である。ただし、偶数であっても、必ずしも4の倍数であるとは限らない。
また、ある数が4の倍数である為には、その数が8の倍数であれば十分である。つまり、8の倍数であることは、4の倍数である為の十分条件である。ただし、その数が8の倍数でなくとも、必ずしも4の倍数でないとは限らない。
他方、ある数が2の倍数である為には、その数は少なくとも偶数でなければならない。つまり、偶数であることは、2の倍数である為の必要条件である。また、その数が偶数であれば、その数は必ず2の倍数である。つまり、偶数であることは、2の倍数である為の十分条件である。すなわち、偶数であることは、2の倍数である為の必要十分条件であり、両者は同値である。
例 2
自然数変数 n についての条件 p(n), q(n) を次のように定める。
- p(n)： n > 10
- q(n)： 2n > 20
そのとき、p(n) は q(n) である為の必要十分条件である。すなわち、n > 10 は 2n > 20 である為の必要十分条件である。
例 3
実数変数 x についての条件 p(x), q(x) を次のように定める。
- p(x)： x > 0
- q(x)： x2 > 0
そのとき、p(x) は q(x) である為の十分条件である。しかし、−1 は q(x) を満たすが ｐ(x) を満たさないので、 「q(x) を満たす実数は全て p(x) を満たす」 とはいえない。よって、q(x) は p(x) である為の十分条件ではない。従って、p(x) は q(x) である為の必要十分条件ではない。
例 4
￢、⇔ を論理演算とし、命題変数 A 、B についての条件 p(A, B), q(A, B) を次のように定める。 ( ￢ は集合 { 真、偽 } から集合 { 真、偽 } への 1 つの写像である。⇔ は { 真、偽 }×{ 真、偽 } から { 真、偽 } への 1 つの写像である。A 、B は { 真、偽 } の元の変数である。)
- p(A, B)： ￢( A ⇔B ) = 真
- q(A, B)： ( ￢A )⇔B = 真
そのとき、p(A, B) は q(A, B) である為の必要十分条件である。すなわち、「￢( A ⇔B ) = 真」 は 「( ￢A )⇔B = 真」 である為の必要十分条件である。
関連項目
脚注
外部リンク
- Necessary and Sufficient Conditions - スタンフォード哲学百科事典「必要条件と十分条件」の項目。
- Weisstein, Eric W. "Equivalent". mathworld.wolfram.com (英語).
- Weisstein, Eric W. "Iff". mathworld.wolfram.com (英語).
同値
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/25 04:07 UTC 版)
同値を表す結合子 ↔ {\displaystyle \leftrightarrow } は ϕ ↔ χ {\displaystyle \phi \leftrightarrow \chi } standing for ( ϕ → χ ) ∧ ( χ → ϕ ) {\displaystyle (\phi \to \chi )\land (\chi \to \phi )} の省略形として導入できる。代わりに次の公理を追加してもよい： IFF-1: ( ϕ ↔ χ ) → ( ϕ → χ ) {\displaystyle (\phi \leftrightarrow \chi )\to (\phi \to \chi )} IFF-2: ( ϕ ↔ χ ) → ( χ → ϕ ) {\displaystyle (\phi \leftrightarrow \chi )\to (\chi \to \phi )} IFF-3: ( ϕ → χ ) → ( ( χ → ϕ ) → ( ϕ ↔ χ ) ) {\displaystyle (\phi \to \chi )\to ((\chi \to \phi )\to (\phi \leftrightarrow \chi ))} IFF-1とIFF-2は一つの公理 ( ϕ ↔ χ ) → ( ( ϕ → χ ) ∧ ( χ → ϕ ) ) {\displaystyle (\phi \leftrightarrow \chi )\to ((\phi \to \chi )\land (\chi \to \phi ))} に結合できる。
※この「同値」の解説は、「直観主義論理」の解説の一部です。
「同値」を含む「直観主義論理」の記事については、「直観主義論理」の概要を参照ください。
同値
「同値」の例文・使い方・用例・文例
同値と同じ種類の言葉
「同値」に関係したコラム
-
FXのローソク足は、為替レートの始値、高値、安値、終値を図に表したものです。図に表すことにより、現在の為替レートが過去の為替レートの中のどのポジションにあるかを知ることができたり、為替レートが上昇して...
-
株式相場で用いられる高値とは、ある期間での一番高かった株価のことです。また、安値は、一番安かった株価のことです。また、高値、安値を付けた日は大商いの取引になったり、相場の転換点であったりすることがあり...
-
チャート分析でバイナリーオプションの予想をするには、ローソク足の組み合わせによりその先の値動きを予測します。ここでは、ローソク足の組み合わせからトレンドの転換点を見つける方法を紹介します。なお、トレン...
-
FX（外国為替証拠金取引）のローソク足にはさまざまなパターンがあります。ローソク足の長さや上ヒゲ、下ヒゲ、陰線、陽線などはその時の相場の動きを暗示したもので、そのパターンから今後の相場を読み取ることも...
CFDの日経225先物と日経225先物、日経225ミニ先物の比較
CFDの日経225先物と日経225先物、日経225ミニ先物は、いずれも日経平均株価（日経225）の先物取引商品です。しかし、取引の種類や必要証拠金などはそれぞれ異なります。▼取引限月CFDの日経225...
- >> 「同値」を含む用語の索引
- 同値のページへのリンク
