水素原子
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/18 14:06 UTC 版)
「ボーア＝ゾンマーフェルトの量子化条件」の記事における「水素原子」の解説
クーロンポテンシャルの下、質量 me の電子が原子核を中心に3次元運動する水素原子を考える。極座標 (r, θ, φ) をとれば、水素原子のハミルトニアンは H = 1 m e ( p r 2 + p θ 2 r 2 + p ϕ 2 r 2 sin 2 θ ) − e 2 r 2 {\displaystyle H={\frac {1}{m_{\mathrm {e} }}}\left(p_{r}^{2}+{\frac {p_{\theta }^{2}}{r^{2}}}+{\frac {p_{\phi }^{2}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right)-{\frac {e^{2}}{r^{2}}}} で与えられる。 ここで、系の保存量として、z 軸方向の角運動量 Mz、角運動量の2乗 M2、エネルギー E が存在し M z = p ϕ M 2 = p θ 2 + p ϕ 2 sin 2 θ E = 1 m e ( p r 2 + p θ 2 r 2 + p ϕ 2 r 2 sin 2 θ ) − e 2 r 2 {\displaystyle {\begin{aligned}M_{z}&=p_{\phi }\\M^{2}&=p_{\theta }^{2}+{\frac {p_{\phi }^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\\E&={\frac {1}{m_{\mathrm {e} }}}\left(p_{r}^{2}+{\frac {p_{\theta }^{2}}{r^{2}}}+{\frac {p_{\phi }^{2}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right)-{\frac {e^{2}}{r^{2}}}\end{aligned}}} であることを用いると ∮ p ϕ d ϕ = 2 π p ϕ = 2 π M z ∮ p θ d θ = 2 ∫ θ 1 θ 2 M 2 − M z 2 sin 2 θ d θ = 2 π ( M − | M z | ) ∮ p r d r = 2 ∫ r 1 r 2 2 m e E + 2 m e e 2 r − M 2 r 2 d r = − 2 π M + π e 2 2 m e − E {\displaystyle {\begin{aligned}\oint p_{\phi }\,\mathrm {d} \phi &=2\pi p_{\phi }=2\pi M_{z}\\\oint p_{\theta }\,\mathrm {d} \theta &=2\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{\sqrt {M^{2}-{\frac {M_{z}^{2}}{\sin ^{2}{\theta }}}}}\,\mathrm {d} \theta =2\pi (M-|M_{z}|)\\\oint p_{r}\,\mathrm {d} r&=2\int _{r_{1}}^{r_{2}}{\sqrt {2m_{\mathrm {e} }E+{\frac {2m_{\mathrm {e} }e^{2}}{r}}-{\frac {M^{2}}{r^{2}}}}}\,\mathrm {d} r=-2\pi M+\pi e^{2}{\sqrt {\frac {2m_{\mathrm {e} }}{-E}}}\end{aligned}}} となる。量子化条件によって、これらがそれぞれ、nφ, nθ, nr に等しいとすれば M z = n ϕ ℏ = m ℏ M = ( n θ + n ϕ ) ℏ = k ℏ E = − m e e 4 2 ℏ 2 ( n r + n θ + n ϕ ) 2 = − 2 π 2 m e e 4 n 2 h 2 {\displaystyle {\begin{aligned}M_{z}&=n_{\phi }\hbar =m\hbar \\M&=(n_{\theta }+n_{\phi })\hbar =k\hbar \\E&=-{\frac {m_{\mathrm {e} }e^{4}}{2\hbar ^{2}(n_{r}+n_{\theta }+n_{\phi })^{2}}}=-{\frac {2\pi ^{2}m_{\mathrm {e} }e^{4}}{n^{2}h^{2}}}\end{aligned}}} が得られる。ここで導入された m = nφ は磁気量子数、k = nθ + nφ は方位量子数、n = nr + nθ + nφ は主量子数と呼ばれる。 古典軌道との対応関係で直観的な描像を得ようとするならば、定常状態の軌道は長半径 a = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}r1 + r2/2、短半径 b = √r1 + r2 を a = ℏ 2 m e e 2 n 2 = a B n 2 b = ℏ 2 m e e 2 n k = a B n k {\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {\hbar ^{2}}{m_{\mathrm {e} }e^{2}}}n^{2}=a_{\mathrm {B} }n^{2}\\b&={\frac {\hbar ^{2}}{m_{\mathrm {e} }e^{2}}}nk=a_{\mathrm {B} }nk\end{aligned}}} とする楕円軌道となる。但し、aB はボーア半径である。
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水素原子
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「シュレーディンガー方程式」の記事における「水素原子」の解説
詳細は「水素原子におけるシュレーディンガー方程式の解」を参照 シュレーディンガー方程式の形式は、水素原子に応用ができる。 E ψ = − ℏ 2 2 μ ∇ 2 ψ − e 2 4 π ϵ 0 r ψ {\displaystyle E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}\psi -{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\psi } e は電気素量で、r は電子の位置（r = |r | は位置ベクトルの大きさで、原点からの距離を表す）、ハミルトニアンのポテンシャル項はクーロンの法則を表し、ε0 は真空の誘電率で μ = m e m p m e + m p {\displaystyle \mu ={\frac {m_{e}m_{p}}{m_{e}+m_{p}}}} は、質量mp の水素原子核（プロトン）と質量me の電子の二体換算質量である。陽子と電子は逆の電荷を持つから、ポテンシャルの項に負符号が現れる。電子質量の代わりに換算質量が使われるのは、電子と陽子が互いに共通の質量中心の周りを運動しているためであり、解くべき問題は二体問題になる。ここでは主に電子の運動に興味があるので、等価な一体問題として、換算質量を使った電子の運動を解くことになる。 水素に対する波動関数は電子の座標の関数で、実際にはそれぞれの座標の関数に分離できる。普通はこれは球面座標系でなされる： ψ ( r , θ , ϕ ) = R ( r ) Y ℓ m ( θ , ϕ ) = R ( r ) Θ ( θ ) Φ ( ϕ ) {\displaystyle \psi (r,\theta ,\phi )=R(r)Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\phi )} R ( r ) {\displaystyle \scriptstyle R(r)} は動径関数で、 Y ℓ m ( θ , ϕ ) {\displaystyle \scriptstyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )\,} は次数 ℓ と位数m の球面調和関数である。水素原子はシュレーディンガー方程式が厳密に解かれる唯一の原子である。多電子原子は近似方法を必要とする。解の仲間は ψ n ℓ m ( r , θ , ϕ ) = ( 2 n a 0 ) 3 ( n − ℓ − 1 ) ! 2 n [ ( n + ℓ ) ! ] e − r / n a 0 ( 2 r n a 0 ) ℓ L n − ℓ − 1 2 ℓ + 1 ( 2 r n a 0 ) ⋅ Y ℓ m ( θ , ϕ ) {\displaystyle \psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )={\sqrt {{\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)}^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]}}}}e^{-r/na_{0}}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)^{\ell }L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)\cdot Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )} ここで a 0 = 4 π ε 0 ℏ 2 m e e 2 {\displaystyle a_{0}={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{e}e^{2}}}} はボーア半径、 L n − ℓ − 1 2 ℓ + 1 ( ⋯ ) {\displaystyle L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}(\cdots )} は次数 n − ℓ − 1の一般的なラゲール多項式（ラゲール陪関数）、 n , ℓ, m はそれぞれ主量子数、 方位量子数、磁気量子数であり, 以下の値を取り得る: n = 1 , 2 , 3 ⋯ ℓ = 0 , 1 , 2 ⋯ n − 1 m = − ℓ ⋯ ℓ {\displaystyle {\begin{aligned}n&=1,2,3\cdots \\\ell &=0,1,2\cdots n-1\\m&=-\ell \cdots \ell \end{aligned}}}
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