水素の再結合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/05 02:27 UTC 版)
宇宙の温度が数 eV より高温の初期宇宙ではほとんどすべての水素原子は電離状態にあるため、光子は電子と頻繁にトムソン散乱する。やがて宇宙の温度が下がり物質密度が減少すると、電子と陽子が結合し電気的に中性な水素を形成する。この過程は宇宙の再結合として知られている。 宇宙の再結合は1968年にジェームズ・ピーブルス、およびそれとは独立にヤーコフ・ゼルドビッチのグループによって詳しく調べられた。初期宇宙では陽子、電子、光子は熱平衡にあり、サハの電離公式 x e 2 1 − x e = 1 ( 1 − Y p ) n b 0 ( m e k B T 2 π ℏ 2 ) 3 2 exp ( − B 1 k B T ) {\displaystyle {\frac {x_{e}^{2}}{1-x_{e}}}={\frac {1}{(1-Y_{p})n_{\mathrm {b0} }}}\left({\frac {m_{e}k_{\mathrm {B} }T}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {B_{1}}{k_{\mathrm {B} }T}}\right)} が良い近似で成り立つ ( T {\displaystyle T} は光子の温度、 k B {\displaystyle k_{\mathrm {B} }} はボルツマン定数、 ℏ {\displaystyle \hbar } は換算プランク定数、 m e {\displaystyle m_{e}} は電子質量、 B 1 = 13.6 e V {\displaystyle B_{1}=13.6\,\mathrm {eV} } は水素原子の結合エネルギー、 n b 0 {\displaystyle n_{\mathrm {b0} }} は現在の宇宙のバリオン数密度、 Y p = 0.75 {\displaystyle Y_{p}=0.75} はビッグバン元素合成によるヘリウム存在量)。やがて密度が減少し再結合の反応率がハッブル時間を上回るようになると熱平衡が破れる（ガモフの基準）。ピーブルスのモデルでは中性水素の状態として 1s 状態、2s 状態、2p 状態を考え、2s 状態から 1s 状態への2光子遷移、2p 状態から 1s 状態へのライマンα遷移を考慮する。ただし、ライマンα遷移により放射されるライマンα光子が近傍の 1s 水素に吸収されるとそれを 2p 状態へ励起するが、この過程はライマンα光子が赤方偏移を受け 1s 水素の吸収線幅から外れると起こらない。この結果、電離度 x e {\displaystyle x_{e}} は d x e d T = α B H T Γ 2 s + 3 P Γ 2 p Γ 2 s + 3 P Γ 2 p + β [ ( 1 − Y p ) n b 0 x e 2 − ( m e k B T 2 π ℏ 2 ) 2 exp ( − B 1 k B T ) ( 1 − x e ) ] {\displaystyle {\frac {dx_{e}}{dT}}={\frac {\alpha _{\mathrm {B} }}{HT}}{\frac {\Gamma _{2s}+3P\Gamma _{2p}}{\Gamma _{2s}+3P\Gamma _{2p}+\beta }}\left[(1-Y_{p})n_{\mathrm {b0} }x_{e}^{2}-\left({\frac {m_{e}k_{\mathrm {B} }T}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{2}\exp \left(-{\frac {B_{1}}{k_{\mathrm {B} }T}}\right)(1-x_{e})\right]} β = α B ( m e k B T 2 π ℏ 2 ) 3 2 exp ( − B 1 4 k B T ) {\displaystyle \beta =\alpha _{\mathrm {B} }\left({\frac {m_{e}k_{\mathrm {B} }T}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {B_{1}}{4k_{\mathrm {B} }T}}\right)} という方程式を満足することになる。ここに α B {\displaystyle \alpha _{\mathrm {B} }} はケース B の再結合係数、 H {\displaystyle H} はハッブルパラメータ、 Γ 2 s = 8.22458 s e c − 1 {\displaystyle \Gamma _{2s}=8.22458\,\mathrm {sec} ^{-1}} は 2 光子遷移 2 s → 1 s {\displaystyle 2s\to 1s} の単位時間あたりの確率、 Γ 2 p = 4.699 × 10 8 s e c − 1 {\displaystyle \Gamma _{2p}=4.699\times 10^{8}\,\mathrm {sec} ^{-1}} はライマンα遷移率、 P = 8 π H 4 λ α 3 n 1 s ( t ) {\displaystyle P={\frac {8\pi H}{4\lambda _{\alpha }^{3}n_{1s}(t)}}} はライマンα光子の吸収線幅からの「脱出確率」（ λ α {\displaystyle \lambda _{\alpha }} はライマンα光子の波長）である。この方程式を解くことで電離度 x e {\displaystyle x_{e}} の時間進化を求めることができ、 T ∼ 4000 K {\displaystyle T\sim 4000\,\mathrm {K} } 付近で x e {\displaystyle x_{e}} は 1 から減少し始め、 T = 100 K {\displaystyle T=100\,\mathrm {K} } で x e ∼ 2 × 10 − 4 {\displaystyle x_{e}\sim 2\times 10^{-4}} まで減少する。 このモデルは1999年に Seager, Sasselov & Scott による精密な数値計算によって検証され、基本的に正しい描像を与えることが確認された。ただし彼らの結果によると、ピーブルスモデルにおいて再結合係数 α B {\displaystyle \alpha _{\mathrm {B} }} として 1.14 を乗じたものを採用することで精密な計算との定量的な一致がさらに改善する。また、ヘリウムの再結合は1969年に佐藤文隆らによって計算された後、最近では2008年に Switzer & Hirataによってより精密な計算がなされた。
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