正九十七角形
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/08 21:15 UTC 版)
正九十七角形においては、中心角と外角は3.711…°で、内角は176.288…°となる。一辺の長さが a の正九十七角形の面積 S は S = 97 4 a 2 cot π 97 ≃ 748.48261 a 2 {\displaystyle S={\frac {97}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{97}}\simeq 748.48261a^{2}} 関係式 x 1 = 2 cos 2 π 97 + 2 cos 72 π 97 + 2 cos 70 π 97 x 2 = 2 cos 10 π 97 + 2 cos 28 π 97 + 2 cos 38 π 97 x 3 = 2 cos 50 π 97 + 2 cos 54 π 97 + 2 cos 4 π 97 x 4 = 2 cos 56 π 97 + 2 cos 76 π 97 + 2 cos 20 π 97 x 5 = 2 cos 86 π 97 + 2 cos 8 π 97 + 2 cos 94 π 97 x 6 = 2 cos 42 π 97 + 2 cos 40 π 97 + 2 cos 82 π 97 x 7 = 2 cos 16 π 97 + 2 cos 6 π 97 + 2 cos 22 π 97 x 8 = 2 cos 80 π 97 + 2 cos 30 π 97 + 2 cos 84 π 97 x 9 = 2 cos 12 π 97 + 2 cos 44 π 97 + 2 cos 32 π 97 x 10 = 2 cos 60 π 97 + 2 cos 26 π 97 + 2 cos 34 π 97 x 11 = 2 cos 88 π 97 + 2 cos 64 π 97 + 2 cos 24 π 97 x 12 = 2 cos 52 π 97 + 2 cos 68 π 97 + 2 cos 74 π 97 x 13 = 2 cos 66 π 97 + 2 cos 48 π 97 + 2 cos 18 π 97 x 14 = 2 cos 58 π 97 + 2 cos 46 π 97 + 2 cos 90 π 97 x 15 = 2 cos 96 π 97 + 2 cos 36 π 97 + 2 cos 62 π 97 x 16 = 2 cos 92 π 97 + 2 cos 14 π 97 + 2 cos 78 π 97 {\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}=&2\cos {\frac {2\pi }{97}}+2\cos {\frac {72\pi }{97}}+2\cos {\frac {70\pi }{97}}\\x_{2}=&2\cos {\frac {10\pi }{97}}+2\cos {\frac {28\pi }{97}}+2\cos {\frac {38\pi }{97}}\\x_{3}=&2\cos {\frac {50\pi }{97}}+2\cos {\frac {54\pi }{97}}+2\cos {\frac {4\pi }{97}}\\x_{4}=&2\cos {\frac {56\pi }{97}}+2\cos {\frac {76\pi }{97}}+2\cos {\frac {20\pi }{97}}\\x_{5}=&2\cos {\frac {86\pi }{97}}+2\cos {\frac {8\pi }{97}}+2\cos {\frac {94\pi }{97}}\\x_{6}=&2\cos {\frac {42\pi }{97}}+2\cos {\frac {40\pi }{97}}+2\cos {\frac {82\pi }{97}}\\x_{7}=&2\cos {\frac {16\pi }{97}}+2\cos {\frac {6\pi }{97}}+2\cos {\frac {22\pi }{97}}\\x_{8}=&2\cos {\frac {80\pi }{97}}+2\cos {\frac {30\pi }{97}}+2\cos {\frac {84\pi }{97}}\\x_{9}=&2\cos {\frac {12\pi }{97}}+2\cos {\frac {44\pi }{97}}+2\cos {\frac {32\pi }{97}}\\x_{10}=&2\cos {\frac {60\pi }{97}}+2\cos {\frac {26\pi }{97}}+2\cos {\frac {34\pi }{97}}\\x_{11}=&2\cos {\frac {88\pi }{97}}+2\cos {\frac {64\pi }{97}}+2\cos {\frac {24\pi }{97}}\\x_{12}=&2\cos {\frac {52\pi }{97}}+2\cos {\frac {68\pi }{97}}+2\cos {\frac {74\pi }{97}}\\x_{13}=&2\cos {\frac {66\pi }{97}}+2\cos {\frac {48\pi }{97}}+2\cos {\frac {18\pi }{97}}\\x_{14}=&2\cos {\frac {58\pi }{97}}+2\cos {\frac {46\pi }{97}}+2\cos {\frac {90\pi }{97}}\\x_{15}=&2\cos {\frac {96\pi }{97}}+2\cos {\frac {36\pi }{97}}+2\cos {\frac {62\pi }{97}}\\x_{16}=&2\cos {\frac {92\pi }{97}}+2\cos {\frac {14\pi }{97}}+2\cos {\frac {78\pi }{97}}\\\end{aligned}}} ( x 1 + x 9 ) , ( x 1 − x 9 ) 2 {\displaystyle (x_{1}+x_{9}),\quad (x_{1}-x_{9})^{2}} のように和、差の二乗を計算すると x 1 = − 1 + 97 2 − 97 − 7857 2 2 + 97 − 2425 2 + 5141 − 25927033 2 2 2 − 97 + 4753 2 − 1649 + 2705233 2 2 + 2037 + 3841297 2 − 3488605 + 12162451874697 2 2 2 2 = − 1 + 97 2 − 97 − 9 97 2 2 + 97 − 5 97 2 + 5141 − 517 97 2 2 2 − 97 + 7 97 2 − 1649 + 167 97 2 2 + 2037 + 199 97 2 − 3488605 + 354099 97 2 2 2 2 {\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}=&{\frac {{\frac {{\frac {{\frac {-1+{\sqrt {97}}}{2}}-{\sqrt {\frac {97-{\sqrt {7857}}}{2}}}}{2}}+{\sqrt {\frac {{\frac {97-{\sqrt {2425}}}{2}}+{\sqrt {\frac {5141-{\sqrt {25927033}}}{2}}}}{2}}}}{2}}-{\sqrt {\frac {{\frac {{\frac {97+{\sqrt {4753}}}{2}}-{\sqrt {\frac {1649+{\sqrt {2705233}}}{2}}}}{2}}+{\sqrt {\frac {{\frac {2037+{\sqrt {3841297}}}{2}}-{\sqrt {\frac {3488605+{\sqrt {12162451874697}}}{2}}}}{2}}}}{2}}}}{2}}\\=&{\frac {{\frac {{\frac {{\frac {-1+{\sqrt {97}}}{2}}-{\sqrt {\frac {97-9{\sqrt {97}}}{2}}}}{2}}+{\sqrt {\frac {{\frac {97-5{\sqrt {97}}}{2}}+{\sqrt {\frac {5141-517{\sqrt {97}}}{2}}}}{2}}}}{2}}-{\sqrt {\frac {{\frac {{\frac {97+7{\sqrt {97}}}{2}}-{\sqrt {\frac {1649+167{\sqrt {97}}}{2}}}}{2}}+{\sqrt {\frac {{\frac {2037+199{\sqrt {97}}}{2}}-{\sqrt {\frac {3488605+354099{\sqrt {97}}}{2}}}}{2}}}}{2}}}}{2}}\\\end{aligned}}} 三次方程式の係数を求めると 2 cos 2 π 97 ⋅ 2 cos 72 π 97 + 2 cos 72 π 97 ⋅ 2 cos 70 π 97 + 2 cos 70 π 97 ⋅ 2 cos 2 π 97 = x 1 + x 12 2 cos 2 π 97 ⋅ 2 cos 72 π 97 ⋅ 2 cos 70 π 97 = x 3 + 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {2\pi }{97}}\cdot 2\cos {\frac {72\pi }{97}}+2\cos {\frac {72\pi }{97}}\cdot 2\cos {\frac {70\pi }{97}}+2\cos {\frac {70\pi }{97}}\cdot 2\cos {\frac {2\pi }{97}}=x_{1}+x_{12}\\&2\cos {\frac {2\pi }{97}}\cdot 2\cos {\frac {72\pi }{97}}\cdot 2\cos {\frac {70\pi }{97}}=x_{3}+2\\\end{aligned}}} 解と係数の関係より u 3 − x 1 u 2 + ( x 1 + x 12 ) u − ( x 3 + 2 ) = 0 {\displaystyle u^{3}-x_{1}u^{2}+(x_{1}+x_{12})u-(x_{3}+2)=0} この三次方程式を解くことにより、 cos ( 2 π / 97 ) {\displaystyle \cos(2\pi /97)} を平方根と立方根で表すことが可能である。
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