振動数方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/01 03:37 UTC 版)
「線形多自由度系の振動」の記事における「振動数方程式」の解説
継続的な外力が作用せず、外乱だけが与えられて起こる振動を自由振動という。自由振動の振動は、系自体が持つ特性によって決まり、系の動特性を知る上で重要な振動の形態である。自由振動は減衰要素が存在しない場合と存在する場合に分かれる。減衰要素と励振力が存在しない場合の式2.1は M x ¨ + K x = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {M{\ddot {x}}}}+{\boldsymbol {Kx}}=\mathbf {0} } (3.1) となる。ここで、0 は下記のようなゼロベクトルである。 0 = ( 0 0 ⋮ 0 ) {\displaystyle \mathbf {0} ={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}} さらに、M と K は正定値であると仮定する。すなわち、M と K は成分が全て実数の対称行列で、それらの二次形式は常に正となる。実際に、質量行列と剛性行列が正定値行列であることは線形多自由度系の一般的な特徴であり、多くの振動系でこの仮定は満たされる。この条件を満たす M と K を前提にすれば、振動系の具体的な構成に依存しない一般性の高い議論を展開できる。 式3.1は定数係数の線形常微分方程式であるため、その解法に従って解を x = u e λ t {\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {u}}e^{\lambda t}} (3.2) という形式で仮定できる。ここで e はネイピア数、λ は未知定数、 u は n 個の未知定数 u から成る下記のような縦ベクトルである。 u = ( u 1 u 2 ⋮ u n ) {\displaystyle {\boldsymbol {u}}={\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}} 式3.1に対して仮定として与えられる解には、他に、最初から単振動を仮定して複素指数関数や三角関数の形式もある。 式3.2を式3.1に代入して整理すると下記のような式になる。 ( λ 2 M + K ) u e λ t = 0 {\displaystyle (\lambda ^{2}{\boldsymbol {M}}+{\boldsymbol {K}}){\boldsymbol {u}}e^{\lambda t}=\mathbf {0} } (3.3) この式が恒等的に成り立つには下記の条件が満たされる必要がある。 ( λ 2 M + K ) u = 0 {\displaystyle (\lambda ^{2}{\boldsymbol {M}}+{\boldsymbol {K}}){\boldsymbol {u}}=\mathbf {0} } (3.4) 数学的には、この形式の方程式は一般化固有値問題として知られ、λ2 は固有値、u は固有ベクトルと呼ばれる。u = 0 であれば式3.4の条件は満たされるが、これは最初の釣り合いの位置からそのまま静止しているだけ状態を意味する解である。よって、ここでは u = 0 は興味の対象外で、それ以外の式3.4を満たす λ と u について知りたい。u ≠ 0 で、なおかつ式3.4が満たされる条件は、U の係数行列 λ2 M + K の逆行列が存在しないことである。したがって、係数行列の行列式が 0 であればこの条件が満たされる。したがって、λ が、 det ( λ 2 M + K ) = 0 {\displaystyle {\mbox{det}}(\lambda ^{2}{\boldsymbol {M}}+{\boldsymbol {K}})=0} (3.5) を満たすとき、式3.4が u = 0 以外の解を持つ。ここで、det( ) は行列式を表す。式3.5の行列式を展開すると、 λ2 についての n 次多項式になる。したがって、原理的には λ2 の値を求めることができる。ただし、この多項式を解析的に解くことができるのはせいぜい2自由度あるいは3自由度までで、それ以上の自由度の系になると数値解析で固有値を計算する。ヤコビ法などを使って数値計算するときは、コレスキー分解を使い、一般化固有値問題形式の3.4を標準的な固有値問題の形へ変換する。 上記のとおり、M と K は正定値であると仮定した。このとき、式3.5の解は全て負の実数となる（解を複素指数関数と仮定した場合は全て正の実数）。したがって、n 個の λ2 の解を λ 2 = − ω 1 2 , − ω 2 2 , ⋯ , − ω n 2 {\displaystyle \lambda ^{2}=-\omega _{1}^{2},\ -\omega _{2}^{2},\ \cdots ,\ -\omega _{n}^{2}} (3.6) とおくことができ、平方根を取って 2n 個のλ の値 λ = ± j ω 1 , ± j ω 2 , ⋯ , ± j ω n {\displaystyle \lambda =\pm j\omega _{1},\ \pm j\omega _{2},\ \cdots ,\ \pm j\omega _{n}} (3.7) が得られる。ここで j は虚数単位である。n 個の ω は固有角振動数または固有円振動数と呼ばれ、値が小さいものから順に1次、2次、…、n 次の固有角振動数と呼ぶ。特に、最も値が小さい1次の固有角振動数は基本振動数と呼ばれる。式3.5は角振動数を求める式であるため振動数方程式と呼ばれる。あるいは、式3.5は M や K といった系の特性によって構成される式であることから特性方程式とも呼ぶ。
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