同次方程式とは? わかりやすく解説

同次方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2018/09/10 01:13 UTC 版)

フレドホルム理論」の記事における「同次方程式」の解説

フレドホルム理論は、次の積分方程式の解を見つける理論である。 g ( x ) = ∫ a b K ( x , y ) f ( y ) d y {\displaystyle g(x)=\int _{a}^{b}K(x,y)f(y)\,dy} この方程式自然に物理学数学多く問題微分方程式の逆として自然に現れる。すなわち、次の微分方程式を解くことと同じことである。 L g ( x ) = f ( x ) {\displaystyle Lg(x)=f(x)} ここに函数 f は与えられ既知のものであり、g は未知函数である。ここに L は線型微分作用素である。例えば、L を次ののような楕円型作用素とする。 L = d 2 d x 2 {\displaystyle L={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}} この場合には、解くべき方程式ポアソン方程式となる。この方程式を解く一般的な方法は、グリーン函数による解法である。つまり、直接上の式を解こうとすることに替わり次の方程式解こうとするのであるL K ( x , y ) = δ ( x − y ) {\displaystyle LK(x,y)=\delta (x-y)} ここに、 δ ( x ) {\displaystyle \delta (x)} は、ディラックのデルタ函数であり、微分方程式求めるべき解は次式のように書くことができる。 g ( x ) = ∫ K ( x , y ) f ( y ) d y {\displaystyle g(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy} この積分フレドホルム積分方程式の形をしている。函数 K ( x , y ) {\displaystyle K(x,y)} は、グリーン函数もしくは積分核として知られていて、核作用素呼ばれることもある。 一般に、x と y が任意の多様体上の点であるとする。最も簡単なケースは、実数直線、あるいは、m-次元ユークリッド空間の場合である。一般理論でも、函数何らかの与えられ函数空間属することを要求する。しばしば、二乗可積分函数研究され、またソボレフ空間現れる使われる実際函数空間は、しばしば、微分作用素固有値問題の解、つまり次式の解によって決まる。 L ψ n ( x ) = ω n ψ n ( x ) {\displaystyle L\psi _{n}(x)=\omega _{n}\psi _{n}(x)} ここに、 ω n {\displaystyle \omega _{n}} は固有値であり、 ψ n ( x ) {\displaystyle \psi _{n}(x)} は、固有ベクトルである。固有ベクトル集合バナッハ空間張り内積存在するときにはヒルベルト空間となる。ここに、リースの表現定理適用されるそのような空間の例として2階常微分方程式の解である直交多項式がある。 上記のようにヒルベルト空間与えられると、次の形で書かれることもある。 K ( x , y ) = ∑ n ψ n ∗ ( x ) ψ n ( y ) ω n {\displaystyle K(x,y)=\sum _{n}{\frac {\psi _{n}^{*}(x)\psi _{n}(y)}{\omega _{n}}}} ここに ψ n ∗ {\displaystyle \psi _{n}^{*}} は ψ n {\displaystyle \psi _{n}} の双対である。この形では対象 K ( x , y ) {\displaystyle K(x,y)} はしばしフレドホルム作用素あるいはフレドホルム核呼ばれる。これが前に述べて と同じであるということはヒルベルト空間基底完全性から従う。つまり、 δ ( x − y ) = ∑ n ψ n ∗ ( x ) ψ n ( y ) {\displaystyle \delta (x-y)=\sum _{n}\psi _{n}^{*}(x)\psi _{n}(y)} を得る。 ω n {\displaystyle \omega _{n}} は一般的には増加するので、作用素 K ( x , y ) {\displaystyle K(x,y)} の固有値ゼロ向かって減少しているように見える。

※この「同次方程式」の解説は、「フレドホルム理論」の解説の一部です。
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