強制振動の例題
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/21 02:39 UTC 版)
調和振動子の微分方程式は角振動数 ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} として x ¨ + ω 0 2 x = 0 {\displaystyle {\ddot {x}}+\omega _{0}{}^{2}x=0} と表される。ただし x ¨ {\displaystyle {\ddot {x}}} は x {\displaystyle x} の時間二階微分である。減衰振動になると、 x ¨ + 2 γ x ˙ + ω 0 2 x = 0 {\displaystyle {\ddot {x}}+2\gamma {\dot {x}}+\omega _{0}{}^{2}x=0} となる。これを定数係数の線形2階同次方程式という。この系に周期的な外力 F = m f cos ω t {\displaystyle F=mf\cos {\omega t}\,} を加えると、強制振動となり、解くべき方程式は、 x ¨ + 2 γ x ˙ + ω 0 2 x = f cos ω t {\displaystyle {\ddot {x}}+2\gamma {\dot {x}}+\omega _{0}{}^{2}x=f\cos {\omega t}} である。この方程式の一般解は特解に同次方程式(A)の一般解を加えたものになる。しかし、同次方程式の解は普通時間とともに減衰してしまうので、十分時間が経過すればこの系は角振動数 ω {\displaystyle \omega } で振動する特解で記述されることになる。この特解を、 x = A cos ( ω t − δ ) = A ( cos ω t cos δ + sin ω t sin δ ) {\displaystyle x=A\cos({\omega t-\delta })=A(\cos {\omega t}\cos {\delta }+\sin {\omega t}\sin {\delta })\,} とおいて、定数 A {\displaystyle A} と δ {\displaystyle \delta } を求める。 x ˙ {\displaystyle {\dot {x}}} と x ¨ {\displaystyle {\ddot {x}}} をそれぞれ計算し、強制振動の微分方程式に代入、整理する。 sin ω t { ( ( ω 0 2 − ω 2 ) sin δ − 2 γ ω cos δ ) A } + cos ω t { ( ( ω 0 2 − ω 2 ) cos δ + 2 γ ω sin δ ) A − f } = 0 {\displaystyle \sin {\omega t}\{((\omega _{0}{}^{2}-\omega ^{2})\sin {\delta }-2\gamma \omega \cos {\delta })A\}+\cos {\omega t}\{((\omega _{0}{}^{2}-\omega ^{2})\cos {\delta }+2\gamma \omega \sin {\delta })A-f\}=0\,} この式がすべての t {\displaystyle t} で成り立つためには { } {\displaystyle \{\quad \}} の中がゼロでなければならないから、 A = f ( ω 0 2 − ω 2 ) 2 + 4 γ 2 ω 2 {\displaystyle A={\frac {f}{\sqrt {(\omega _{0}{}^{2}-\omega ^{2})^{2}+4\gamma ^{2}\omega ^{2}}}}} tan δ = 2 γ ω ω 0 2 − ω 2 {\displaystyle \tan {\delta }={\frac {2\gamma \omega }{\omega _{0}{}^{2}-\omega ^{2}}}} という結果が得られる。固有角振動数 ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} に近い角振動数 ω {\displaystyle \omega } の外力を加えると、非常に大きな振幅の振動が生じる。これが共振であり、ブランコを手で押して大きく揺らすことなどが共鳴・共振運動に他ならない。振幅 A {\displaystyle A} が極大となる角振動数 ω {\displaystyle \omega } は ω 0 2 − 2 γ 2 {\displaystyle {\sqrt {\omega _{0}{}^{2}-2\gamma ^{2}}}} である。ただし減衰項の値が大きい場合には極大値を持たない。
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