定数係数線型常微分方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/10/05 04:54 UTC 版)
「デュアメルの原理」の記事における「定数係数線型常微分方程式」の解説
デュアメルの原理とは、非同次の線型偏微分方程式の解は、初めにある入力ステップに対する解を見つけて、それをデュアメルの積分（英語版）を使って積み重ねることによって求めることが出来る、という結果である。次の定数係数 m 階非同次常微分方程式を考える。 P ( ∂ t ) u ( t ) = F ( t ) {\displaystyle P(\partial _{t})u(t)=F(t)\,} ∂ t j u ( 0 ) = 0 , 0 ≤ j ≤ m − 1 {\displaystyle \partial _{t}^{j}u(0)=0,\;0\leq j\leq m-1} ただし P ( ∂ t ) := a m ∂ t m + ⋯ + a 1 ∂ t + a 0 , a m ≠ 0. {\displaystyle P(\partial _{t}):=a_{m}\partial _{t}^{m}+\cdots +a_{1}\partial _{t}+a_{0},\;a_{m}\neq 0.} である。この非同次方程式の解を、以下に示す方法によってある同次方程式の解に書き下すことが出来る。以下の手順はすべて形式的に行われるが、解が well-defined となるために必要ないくつかの設定は無視している。 初めに、次の方程式の解 G を求める。 P ( ∂ t ) G = 0 , ∂ t j G ( 0 ) = 0 , 0 ≤ j ≤ m − 2 , ∂ t m − 1 G ( 0 ) = 1 / a m . {\displaystyle P(\partial _{t})G=0,\;\partial _{t}^{j}G(0)=0,\quad 0\leq j\leq m-2,\;\partial _{t}^{m-1}G(0)=1/a_{m}.} ここで H = G χ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle H=G\chi _{[0,\infty )}} 定める。ただし χ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle \chi _{[0,\infty )}} は区間 [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )} に対する指示函数である。このとき、 P ( ∂ t ) H = δ {\displaystyle P(\partial _{t})H=\delta } が超函数の意味で成立する。したがって u ( t ) = ( H ∗ F ) ( t ) {\displaystyle u(t)=(H\ast F)(t)} = ∫ 0 ∞ G ( τ ) F ( t − τ ) d τ {\displaystyle =\int _{0}^{\infty }G(\tau )F(t-\tau )\,d\tau } = ∫ − ∞ t G ( t − τ ) F ( τ ) d τ {\displaystyle =\int _{-\infty }^{t}G(t-\tau )F(\tau )\,d\tau } が、元の常微分方程式の解となる。
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