定数値が存在することの証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/20 03:03 UTC 版)
「数字根」の記事における「定数値が存在することの証明」の解説
f ( n ) , f ( f ( n ) ) , f ( f ( f ( n ) ) ) , ⋯ {\displaystyle f(n),f(f(n)),f(f(f(n))),\dotsb } が最終的に定数となることの証明は以下の通り。 x = d 1 + 10 d 2 + ⋯ + 10 n − 1 d n {\displaystyle x=d_{1}+10d_{2}+\dotsb +10^{n-1}d_{n}} とし、 0 ≤ d i ∈ Z < 10 {\displaystyle 0\leq d_{i}\in \mathbb {Z} <10} とする（全ての i {\displaystyle i} について d i {\displaystyle d_{i}} は 0 以上、10 未満の整数である）。すると、 f ( x ) = d 1 + d 2 + ⋯ + d n {\displaystyle f(x)=d_{1}+d_{2}+\dotsb +d_{n}} となる。つまり d 2 , d 3 , ⋯ , d n = 0 {\displaystyle d_{2},d_{3},\dotsb ,d_{n}=0} でない限り f ( x ) < x {\displaystyle f(x)<x} が成り立ち、 d 2 , d 3 , ⋯ , d n = 0 {\displaystyle d_{2},d_{3},\dotsb ,d_{n}=0} であるということは、 x {\displaystyle x} が 1 桁であることを意味する。従って f ( x ) {\displaystyle f(x)} を繰り返し適用していくと x {\displaystyle x} は小さくなっていき、最終的に 1 桁の数になり、その時点で f ( d 1 ) = d 1 {\displaystyle f(d_{1})=d_{1}} なので定数となる。
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