定数係数線型偏微分方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/10/05 04:54 UTC 版)
「デュアメルの原理」の記事における「定数係数線型偏微分方程式」の解説
より一般に、次の非同次の定数係数偏微分方程式を考える。 P ( ∂ t , D x ) u ( t , x ) = F ( t , x ) {\displaystyle P(\partial _{t},D_{x})u(t,x)=F(t,x)\,} ただし D x = 1 i ∂ ∂ x {\displaystyle D_{x}={\frac {1}{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\,} とする。以下に示す方法で、この非同次方程式の解はある同次方程式の解へと書き下すことが出来る。すべての手順は形式的に行われるが、解が well-defined となるための必要な設定は無視している。 はじめに、x についてフーリエ変換を行うことで、 P ( ∂ t , ξ ) u ^ ( t , ξ ) = F ^ ( t , ξ ) {\displaystyle P(\partial _{t},\xi ){\hat {u}}(t,\xi )={\hat {F}}(t,\xi )} が得られる。 P ( ∂ t , ξ ) {\displaystyle P(\partial _{t},\xi )} は t に関する m 階の方程式である。 P ( ∂ t , ξ ) {\displaystyle P(\partial _{t},\xi )} の最高階の項の係数を a m {\displaystyle a_{m}} とする。今、すべての ξ {\displaystyle \xi } に対して、次の方程式の解 G ( t , ξ ) {\displaystyle G(t,\xi )} を考える。 P ( ∂ t , ξ ) G ( t , ξ ) = 0 , ∂ t j G ( 0 , ξ ) = 0 for 0 ≤ j ≤ m − 2 , ∂ t m − 1 G ( 0 , ξ ) = 1 / a m . {\displaystyle P(\partial _{t},\xi )G(t,\xi )=0,\;\partial _{t}^{j}G(0,\xi )=0\;{\mbox{ for }}0\leq j\leq m-2,\;\partial _{t}^{m-1}G(0,\xi )=1/a_{m}.} H ( t , ξ ) = G ( t , ξ ) χ [ 0 , ∞ ) ( t ) {\displaystyle H(t,\xi )=G(t,\xi )\chi _{[0,\infty )}(t)} を定める。すると、 P ( ∂ t , ξ ) H ( t , ξ ) = δ ( t ) {\displaystyle P(\partial _{t},\xi )H(t,\xi )=\delta (t)} が超函数の意味で成立する。したがって u ^ ( t , ξ ) = ( H ( ⋅ , ξ ) ∗ F ^ ( ⋅ , ξ ) ) ( t ) {\displaystyle {\hat {u}}(t,\xi )=(H(\cdot ,\xi )\ast {\hat {F}}(\cdot ,\xi ))(t)} = ∫ 0 ∞ G ( τ , ξ ) F ( t − τ , ξ ) d τ {\displaystyle =\int _{0}^{\infty }G(\tau ,\xi )F(t-\tau ,\xi )\,d\tau } = ∫ − ∞ t G ( t − τ , ξ ) F ( τ , ξ ) d τ {\displaystyle =\int _{-\infty }^{t}G(t-\tau ,\xi )F(\tau ,\xi )\,d\tau } が元の偏微分方程式の解として得られる（ただし x に戻るための逆変換が必要となる）。
※この「定数係数線型偏微分方程式」の解説は、「デュアメルの原理」の解説の一部です。
「定数係数線型偏微分方程式」を含む「デュアメルの原理」の記事については、「デュアメルの原理」の概要を参照ください。
- 定数係数線型偏微分方程式のページへのリンク
