非同次方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/09/10 01:13 UTC 版)
非同次フレドホルム積分方程式 f ( x ) = − ω ϕ ( x ) + ∫ K ( x , y ) ϕ ( y ) d y {\displaystyle f(x)=-\omega \phi (x)+\int K(x,y)\phi (y)\,dy} は次の形に形式的には書き出すことができるかもしれない。 f = ( K − ω ) ϕ {\displaystyle f=(K-\omega )\phi } これは形式的な解 ϕ = 1 K − ω f {\displaystyle \phi ={\frac {1}{K-\omega }}f} である。この形の解はレゾルベント形式化と呼ばれ、そこではレゾルベントは次の作用素として定義される。 R ( ω ) = 1 K − ω I . {\displaystyle R(\omega )={\frac {1}{K-\omega I}}.} Kの固有函数と固有値の集まりがあたえられると、レゾルベントは次のような具体的な形をとるかもしれない。 R ( ω ; x , y ) = ∑ n ψ n ∗ ( y ) ψ n ( x ) ω n − ω {\displaystyle R(\omega ;x,y)=\sum _{n}{\frac {\psi _{n}^{*}(y)\psi _{n}(x)}{\omega _{n}-\omega }}} ここに解は ϕ ( x ) = ∫ R ( ω ; x , y ) f ( y ) d y {\displaystyle \phi (x)=\int R(\omega ;x,y)f(y)\,dy} である。この解が存在する必要十分条件がフレドホルムの定理の一つである。レゾルベントはみな共通に λ = 1 / ω {\displaystyle \lambda =1/\omega } のべきに拡張され、この場合にはリウヴィル・ノイマン級数（英語版）として知られていて、積分方程式は次のようになる。 g ( x ) = ϕ ( x ) − λ ∫ K ( x , y ) ϕ ( y ) d y {\displaystyle g(x)=\phi (x)-\lambda \int K(x,y)\phi (y)\,dy} また、レゾルベントは次の交代的な形で書くことができる。 R ( λ ) = 1 I − λ K . {\displaystyle R(\lambda )={\frac {1}{I-\lambda K}}.}
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