特徴付け
特徴付け
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/10 13:45 UTC 版)
モニック多項式 p から定まる同伴行列 C(p) の固有多項式と最小多項式は p と一致する。このような意味でモニック多項式 p は正方行列 C(p) を〈同伴〉している。 行列 A が適当な体 K の元を成分にもつ n 次行列とすると、以下は同値： A はその固有多項式の同伴行列に K 上で相似である。 A の固有多項式と最小多項式は一致する。 A の最小多項式の次数は n である。 Kn = spanK{v, Av, …, An−1v} となるベクトル v が存在する。 V = Kn は K[A]-加群として巡回的（かつ V = K[A]/(p(A)) である（このことを以って A は正常 (regular) であるという）。 一般には任意の正方行列 A が同伴行列に相似となるとは限らないが、いくつかの同伴行列 C(p1), …, C(pm) の直和 R = [ C ( p 1 ) ⋱ C ( p m ) ] {\displaystyle R={\begin{bmatrix}C(p_{1})&&\\&\ddots &\\&&C(p_{m})\end{bmatrix}}} に相似となる。モニック多項式の列 p1, …, pm は後に続く多項式を割り切るように選ぶことができ、それらは A により一意的に決まる。このようにして得られた区分行列 R を A の有理標準形と呼ぶ（代数閉体上における行列のジョルダン標準形の類似）。
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特徴付け
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/09/02 09:18 UTC 版)
強双対性が成立するための必要十分条件は、双対性のギャップ（英語版）が 0 に等しいことである。
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特徴付け
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/10/01 04:59 UTC 版)
凸多角形が内接円を持つための必要十分条件は、その内角の二等分線がすべて一点で交わることである。この共通交点は内心（内接円の中心）となる:77。
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特徴付け
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/18 00:45 UTC 版)
凸四辺形が共円であるための必要十分条件は四つある辺の垂直二等分線が共点となる（つまり一点で交わる）ことである。このとき共有される点は外心と呼ばれる。 凸四辺形 □ABCD が共円となるための必要十分条件は、その向かい合う角が互いに補角となることである。式で書けば、四つの角が隣り合う順に α, β, γ, δ の角度を持つとすれば α + γ = β + δ = π ( = 180 ∘ ) {\displaystyle \alpha +\gamma =\beta +\delta =\pi \;(=180^{\circ })} と書ける。直接の定理はエウクレイデスの『原論』第3巻の命題22であるが、同値な言い換えとして、凸四辺形が共円となるための必要十分条件は、その各外角が内対角に等しいことである。 凸四辺形 □ABCD が共円となる別の必要十分条件は、ひとつの辺と一方の対角線との間の角が対辺と他方の対角線との間の角に等しいことである。つまり例えば ∠ A C B = ∠ A D B {\textstyle \angle ACB=\angle ADB} のときはそうである。 トレミーの定理の述べるところは、共円四辺形のふたつの対角線の長さ e, f の積は、二組ある対辺の長さの積の和に等しいことである。式では e f = a c + b d {\displaystyle ef=ac+bd} と書ける:25。逆もまた成り立ち、この式を満たす凸四辺形は共円四辺形となる。 二つの直線があり、一方が線分 AC を他方が線分 BD を含み、点 P で交わるとする。このとき四点 A, B, C, D が共円となるための必要十分条件は、線分の長さについて A P ⋅ P C = B P ⋅ P D {\displaystyle AP\cdot PC=BP\cdot PD} が成り立つことである:179。このとき、交点 P は四点が共有する円の内部にも外部にも位置しうる。前者の場合では □ABCD が共円四辺形となり、後者の場合では □ABDC が共円四辺形を成す。また前者の場合において上記の等式は、一方の対角線を P で分割して得られる線分の長さの積が他方のそれと等しいことを述べるものとなる。このことは、この共円四辺形の対角線が外接円の弦であることから交弦定理（英語版）と呼ばれる。 もっとほかの特徴づけとして、凸四辺形 □ABCD が共円となるための必要十分条件は tan α 2 tan γ 2 = tan β 2 tan δ 2 = 1 {\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}=\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\delta }{2}}=1} が成り立つことである。
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特徴付け
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/16 09:52 UTC 版)
極限順序数は他にもいろいろなやり方で定義できる: 与えられた非零順序数でそれより小さい任意の順序数の上限に等しいもの。(後続順序数の場合と比較すれば、後続順序数より小さい順序数全体の成す集合には最大限が存在する（それは直前の順序数である）から、それが上限を与える。) 最大元を持たない非零順序数。 適当な α > 0 によって ωα の形に書ける順序数。つまり、カントール標準形において末項としての有限な数を持たない非零順序数。 順序数全体の成す類において順序位相（英語版）に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)。 0 を、直前の順序数を持たない順序数として、極限順序数に分類すべきか否かに関しては流儀が分かれる。いくつかの教科書は 0 を極限順序数のクラスに含めるが、含めないものもある。
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特徴付け
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/15 04:07 UTC 版)
一様マトロイド（英語版） U 4 2 {\displaystyle U{}_{4}^{2}} (the four-point line) は正則でない。このマトロイドは（それ以外の全ての体の上では可能であるにもかかわらず）二元体 GF(2) 上のベクトル空間では実現できない（2値マトロイド（英語版）でない）からである。 ファノ平面（英語版）から導かれるマトロイド（階数3のマトロイドであって、7通りの点の三つ組が独立である）およびその双対マトロイドは、やはり正則でない。このマトロイドは GF(2) および任意の標数2 の体上で実現できるが、それ以外のどんな体上でも実現できない。 Tutte (1958) が示したように、これら3つの例は正則マトロイドの理論の基礎となる。任意の非正則マトロイドは、これら3つのマトロイドのうち少なくとも1つをマトロイドマイナーに持つ。よって、正則マトロイド全体は禁じられた3種、 U 4 2 {\displaystyle U{}_{4}^{2}} ・ファノ平面・その双対、をマトロイドマイナーに持たないマトロイド全体とちょうど一致する マトロイドが正則であれば、明らかに2つの体、GF(2),GF(3) 上で実現されねばならない。この逆も真である。これら2つの体上で実現できるマトロイドは、正則マトロイドである。この結果は、これらの体上で実現できるマトロイドに対する不可能なマトロイドマイナーの特徴付けから得られるが、これはロタ予想（英語版）によって体系化される一連の結果の一部である。 正則マトロイドは、全ユニモジュラ行列（全ての正方小行列式が 0, 1, −1 のいずれかにである正方行列）によって定義できるマトロイドである。ここでベクトル集合の実現は、行列の行集合を選ぶことにより行うものとする。このことから、正則マトロイドはときにユニモジュラマトロイドとも呼ばれる。正則マトロイドと全ユニモジュラ行列との等価性、および不可能なマトロイドマイナーによるそれらの特徴付けは、ウィリアム・トーマス・タット（英語版）による深い結果であり、タットのホモトピー定理（英語版）を用いて最初に証明された。 Gerards (1989) は後に、不可能なマトロイドマイナーによる全ユニモジュラ行列の特徴付けの、より簡単な別証明を与えた。
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特徴付け
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/11 02:16 UTC 版)
次元 d = dim A {\displaystyle d=\dim A} のネーター局所環 ( A , m ) {\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})} について、次は同値である。 A は正則局所環。 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} は d 個の元で生成される。 g r m A ≃ k [ X 1 , X 2 , … , X d ] {\displaystyle \mathrm {gr} _{\mathfrak {m}}\,A\simeq k[X_{1},X_{2},\dots ,X_{d}]} 。ただし、右辺は d 不定元の多項式代数で同型は k = A / m {\displaystyle k=A/{\mathfrak {m}}} 上の次数環としてのものとする。 大域次元が有限である： g l d i m A < ∞ {\displaystyle \operatorname {gl\,dim} A<\infty } 。 大域次元とクルル次元が一致する： g l d i m A = d {\displaystyle \operatorname {gl\,dim} A=d} 。
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特徴付け
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/12 02:27 UTC 版)
「行列式に対するライプニッツの明示公式」の記事における「特徴付け」の解説
行列式は以下の定理によって特徴付けることができる。 定理 体 𝕂 上の行列環上で定義された函数 F : M n ( K ) → K {\displaystyle F\colon M_{n}(\mathbb {K} )\to \mathbb {K} } で、列ベクトルに関して多重線型かつ交代的で、F(I) = 1 を満たすものはただ一つ存在する。ただし I は n-次単位行列。 上記の明示式で定義された函数 det は実際にこれら条件を満たすから、このような函数は存在する。逆にこれら条件から上記の明示式が出ることを見れば一意性が示せる。これにより、定理の条件を満たす函数 F が明示公式で与えられる行列式函数にほかならないことがわかるから、行列式 det : M n ( K ) → K {\textstyle \det \colon M_{n}(\mathbb {K} )\to \mathbb {K} } を明示公式によって定義することも、定理の条件を満たす唯一の函数として定義することもできる。 証明 一意性 F を定理の条件を満たす函数とし、任意の n × n 行列 A := (a ji )j=1,…,ni=1,…,n に対して、A の第 j-列ベクトルを aj := (a ji )i=1,…,n と書くことにする—すなわち A = (a1, …, an) である。同様に単位行列 I もその第 k-列を ek として I = (e1, …, en) と書く。 すると A の各列ベクトルは aj = ∑nk=1 a jk ek と書けるから、F の多重線型性により F ( A ) = F ( ∑ k 1 = 1 n a k 1 1 e k 1 , … , ∑ k n = 1 n a k n n e k n ) = ∑ k 1 , … , k n = 1 n ( ∏ i = 1 n a k i i ) F ( e k 1 , … , e k n ) {\displaystyle {\begin{aligned}F(A)&=F{\Bigl (}\sum _{k_{1}=1}^{n}a_{k_{1}}^{1}\mathbf {e} ^{k_{1}},\dotsc ,\sum _{k_{n}=1}^{n}a_{k_{n}}^{n}\mathbf {e} ^{k_{n}}{\Bigr )}\\&=\sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=1}^{n}{\Bigl (}\prod _{i=1}^{n}a_{k_{i}}^{i}{\Bigr )}F(\mathbf {e} ^{k_{1}},\dotsc ,\mathbf {e} ^{k_{n}})\end{aligned}}} を得る。F の交代性により添字が重複する項が全て零となるから、上記の和は添字に重複のない並びすなわち添字の置換となっている項だけが残り、 F ( A ) = ∑ σ ∈ S n ( ∏ i = 1 n a σ ( i ) i ) F ( e σ ( 1 ) , … , e σ ( n ) ) {\displaystyle F(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}{\Bigl (}\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}{\Bigr )}F(\mathbf {e} ^{\sigma (1)},\dotsc ,\mathbf {e} ^{\sigma (n)})} と整理できる。さらに F の交代性により、列ベクトル eσ(k) たちの並びを、単位行列になるまで入れ替えるとき、そのような入れ替えで必要な数だけ符号を反転したものが置換の符号 sgn(σ) にほかならないから、結局 F ( A ) = ∑ σ ∈ S n sgn ( σ ) ( ∏ i = 1 n a σ ( i ) i ) F ( I ) = ∑ σ ∈ S n sgn ( σ ) ∏ i = 1 n a σ ( i ) i {\displaystyle {\begin{aligned}F(A)&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma ){\Bigl (}\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}{\Bigr )}F(I)\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\end{aligned}}} であることが分かる（最後の等号は、F(I) が仮定により 1 に等しいことによる）。したがって、定理の条件を満たす函数 F はライプニッツの公式で定義される函数をおいてよりほかはない。 存在性 函数 F はライプニッツの公式によって定義された函数とし、以下この F が定理の条件をすべて満たすことを見る。 多重線型性 F ( a 1 , … , c a j , … , a n ) = ∑ σ ∈ S n sgn ( σ ) c a σ ( j ) j ∏ i = 1 , … , n i ≠ j a σ ( i ) i = c ∑ σ ∈ S n sgn ( σ ) ∏ i = 1 n a σ ( i ) i = c F ( a 1 , … , a j , … , a n ) {\displaystyle {\begin{aligned}F(\mathbf {a} ^{1},\dotsc ,c\mathbf {a} ^{j},\dotsc ,\mathbf {a} ^{n})&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )ca_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,\dotsc ,n \atop i\neq j}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=c\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=cF(\mathbf {a} ^{1},\dotsc ,\mathbf {a} ^{j},\dotsc ,\mathbf {a} ^{n})\end{aligned}}} および F ( a 1 , … , a j + b j , … , a n ) = ∑ σ ∈ S n sgn ( σ ) ( a σ ( j ) j + b σ ( j ) j ) ∏ i = 1 , … , n i ≠ j a σ ( i ) i = ∑ σ ∈ S n sgn ( σ ) ( ( ∏ i = 1 n a σ ( i ) i ) + ( b σ ( j ) j ∏ i = 1 , … , n i ≠ j a σ ( i ) i ) ) = ( ∑ σ ∈ S n sgn ( σ ) ∏ i = 1 n a σ ( i ) i ) + ( ∑ σ ∈ S n sgn ( σ ) b σ ( j ) j ∏ i = 1 , … , n i ≠ j a σ ( i ) i ) = F ( a 1 , … , a j , … , a n ) + F ( a 1 , … , b j , … , a n ) {\displaystyle {\begin{aligned}F(\mathbf {a} ^{1},\dotsc ,\mathbf {a} ^{j}+\mathbf {b} ^{j},\dotsc ,\mathbf {a} ^{n})&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )(a_{\sigma (j)}^{j}+b_{\sigma (j)}^{j})\prod _{i=1,\dotsc ,n \atop i\neq j}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma ){\biggl (}{\Bigl (}\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}{\Bigr )}+{\Bigl (}b_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,\dotsc ,n \atop i\neq j}a_{\sigma (i)}^{i}{\Bigr )}{\biggr )}\\&={\Bigl (}\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}{\Bigr )}+{\Bigl (}\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )b_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,\dotsc ,n \atop i\neq j}a_{\sigma (i)}^{i}{\Bigr )}\\&=F(\mathbf {a} ^{1},\dotsc ,\mathbf {a} ^{j},\dotsc ,\mathbf {a} ^{n})+F(\mathbf {a} ^{1},\dotsc ,\mathbf {b} ^{j},\dotsc ,\mathbf {a} ^{n})\end{aligned}}} 交代性 F ( a 1 , … , a j 1 , … , a j 2 , … , a n ) = ∑ σ ∈ S n sgn ( σ ) α σ a σ ( j 1 ) j 1 a σ ( j 2 ) j 2 ( α σ := ∏ i = 1 , … , n i ≠ j 1 , i ≠ j 2 a σ ( i ) i ) {\displaystyle F(\mathbf {a} ^{1},\dotsc ,\mathbf {a} ^{j_{1}},\dotsc ,\mathbf {a} ^{j_{2}},\dotsc ,\mathbf {a} ^{n})=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\alpha _{\sigma }a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}\qquad {\Bigl (}\alpha _{\sigma }:=\prod _{i=1,\dotsc ,n \atop i\neq j_{1},i\neq j_{2}}a_{\sigma (i)}^{i}{\Bigr )}} において、各 σ ∈ Sn に対し、σ から添字 j1 と j2 を入れ替えて得られる置換を σ′ と書くことにすれば、右辺はさらに ∑ σ ∈ S n , σ ( j 1 ) < σ ( j 2 ) ( sgn ( σ ) α σ a σ ( j 1 ) j 1 a σ ( j 2 ) j 2 + sgn ( σ ′ ) α σ ′ a σ ′ ( j 1 ) j 1 a σ ′ ( j 2 ) j 2 ) = ∑ σ ∈ S n σ ( j 1 ) < σ ( j 2 ) ( sgn ( σ ) α σ a σ ( j 1 ) j 1 a σ ( j 2 ) j 2 − sgn ( σ ) α σ a σ ( j 2 ) j 1 a σ ( j 1 ) j 2 ) = ∑ σ ∈ S n σ ( j 1 ) < σ ( j 2 ) sgn ( σ ) α σ ( a σ ( j 1 ) j 1 a σ ( j 2 ) j 2 − a σ ( j 1 ) j 2 a σ ( j 2 ) j 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\quad \sum _{\sigma \in S_{n}, \atop \sigma (j_{1})<\sigma (j_{2})}{\Bigl (}\operatorname {sgn}(\sigma )\alpha _{\sigma }a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}+\operatorname {sgn}(\sigma ')\alpha _{\sigma '}a_{\sigma '(j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma '(j_{2})}^{j_{2}}{\Bigr )}\\&=\sum _{\sigma \in S_{n} \atop \sigma (j_{1})<\sigma (j_{2})}{\bigl (}\operatorname {sgn}(\sigma )\alpha _{\sigma }a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}-\operatorname {sgn}(\sigma )\alpha _{\sigma }a_{\sigma (j_{2})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{1})}^{j_{2}}{\bigr )}\\&=\sum _{\sigma \in S_{n} \atop \sigma (j_{1})<\sigma (j_{2})}\operatorname {sgn}(\sigma )\alpha _{\sigma }{\bigl (}a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}-a_{\sigma (j_{1})}^{j_{2}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{_{1}}}{\bigr )}\end{aligned}}} と書き直せるから、 a j 1 = a j 2 ⟹ F ( A ) = 0 {\displaystyle \mathbf {a} ^{j_{1}}=\mathbf {a} ^{j_{2}}\implies F(A)=0} を得る。 最後に F(I) = 1 となることは、I = (δ ji )j=1,…,ni=1,…,n （δ ji はクロネッカーのデルタ）および、σ が恒等置換でないかぎり ∏ ni=1 δ iσ(i) = 0 となることに注意すれば F ( I ) = ∑ σ ∈ S n sgn ( σ ) ∏ i = 1 n δ σ ( i ) i = ∏ i = 1 n δ i i = 1 {\displaystyle F(I)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}\delta _{\sigma (i)}^{i}=\prod _{i=1}^{n}\delta _{i}^{i}=1} と計算できる。
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「特徴付け」の例文・使い方・用例・文例
- （人の）本質のうち精神的、感情によって特徴付けられる部分
- 自発的な運動に特徴付けられる、生命を持つ有機体
- 得ることまたは集まることによって特徴付けられる
- （太陽について）太陽黒点、揺らめく炎、および電波放射の増加する発生により特徴付けられる
- 長期間にわたって続く、再発する、または長期間の苦しみによって特徴付けられる
- （病気について）機能損失に伴う器官と細胞の段階的な悪化により特徴付けられる
- 付加により特徴付けられているか、または生産される
- （精神状態について）激しく曲解された知覚、幻覚、幸福感、あるいは時々絶望感により特徴付けられる
- 構成代謝を特徴付けられるか、または促進するさま
- 入り口からのみ建物に入ることができるポルチコの中に固結していない柱を有し、円柱使用に特徴付けられる
- 容易に言い表すか、または明確な表現言語によって特徴付けられる
- 想像力、思考、事象をまとめる過程に特徴付けられる、引き起こす、に起因するさま
- 十分な意識または機敏さで特徴付けられる
- 暴力と流血に訴えることを熱望することにより特徴付けられる
- 寛大さを示すこと、あるいはにより特徴付けられる
- 苦労と努力で特徴付けられる
- 重大な不注意により特徴付けられる
- 十分な注意と注意深さで、特徴付けられる
- セルかコンパートメント（有機体か組織の最も小さい組織的であるか構造的な単位）を特徴付けられるか、分割されるか、または含むさま
- 信頼または保証持つことあるいは、に特徴付けられる
- 特徴付けのページへのリンク
