ユニモジュラ行列とは - わかりやすく解説 Weblio辞書

ユニモジュラ行列

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/09/11 01:39 UTC 版)

数学の分野において、ある正方行列 M がユニモジュラ行列（ユニモジュラぎょうれつ、英: unimodular matrix; 単模行列）であるとは、それが整数行列で、その行列式が +1 あるいは −1 であることを言う。また同値であるが、整数について可逆であるような整数行列、すなわち、逆行列 N が整数行列であるような整数行列のことも、ユニモジュラ行列と言う。これら二つの定義が同値であることは、クラメルの公式より従う。したがって、いずれの成分も整数であるような行列 M とベクトル b に対する方程式 Mx = b には、M がユニモジュラ行列であるとき、整数解が存在する。位数が n のユニモジュラ行列は群を成し、それは $GL_{n}(\mathbb {Z} )$ と表記される。

脚注

注釈

^ この語はClaude Bergeによって作られた。Hoffman, A.J.; Kruskal, J. (2010), “Introduction to Integral Boundary Points of Convex Polyhedra”, in M. Jünger et al. (eds.), 50 Years of Integer Programming, 1958-2008, Springer-Verlag, pp. 49–50 を参照。

出典

^ Heller, I.; Tompkins, C.B.Gh (1956), “An Extension of a Theorem of Dantzig's”, in Kuhn, H.W.; Tucker, A.W., Linear Inequalities and Related Systems, Annals of Mathematics Studies, 38, Princeton (NJ): Princeton University Press, pp. 247–254
^ T. Zaslavsky (1982), "Signed graphs," Discrete Applied Mathematics 4, pp. 401–406.
^ Hoffman, A.J.; Kruskal, J.B. (1956), “Integral Boundary Points of Convex Polyhedra”, in Kuhn, H.W.; Tucker, A.W., Linear Inequalities and Related Systems, Annals of Mathematics Studies, 38, Princeton (NJ): Princeton University Press, pp. 223–246
^ Fujishige, Satoru (1984), “A System of Linear inequalities with a Submodular Function on (0, +/-1) Vectors”, Linear Algebra and Its Applications 63: 253–266