加法
加法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/03/11 04:57 UTC 版)
3 2 6 4 {\displaystyle {\mathit {3}}2{\mathit {6}}4\,} ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } 6 {\displaystyle {\mathit {6}}\,} * まず、足して 9 になる数字（イタリック体で示す）を除く。 8415 {\displaystyle {\mathit {8415}}\,} ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } 0 {\displaystyle 0\,} † 残った数字を足し合わせ、最終的に一桁の数字になるまでそれを繰り返す。 2 9 46 {\displaystyle 2{\mathit {9}}46\,} ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } 3 {\displaystyle {\mathit {3}}\,} ‡ こうして得られた値を excess と呼ぶ。 + 3 20 6 _ {\displaystyle {\underline {+{\mathit {3}}20{\mathit {6}}}}} ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } 2 {\displaystyle 2\,} ** 得られた excess 群に同じ作業をして、最終的に1つの数字を得る。 1 7 8 31 {\displaystyle {\mathit {1}}7{\mathit {8}}31\,} ⇓ {\displaystyle {\bigg \Downarrow }} 総和結果についても同じことを行い、一桁の数字を得る。 ⇓ {\displaystyle \Downarrow } 2 {\displaystyle {2}\,} †† ⇔ {\displaystyle \Leftrightarrow } 2 {\displaystyle 2\,} 総和の excess と足される数値群の最終的な excess は等しくなければならない。 *2 + 4 = 6 †数字が残らないため ‡2 + 4 + 6 = 12; 1 + 2 = 3 **2 + 0 = 2 ††7 + 3 + 1 = 11; 1 + 1 = 2
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加法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/01 07:43 UTC 版)
二つの行列は、それが同じ型を持つならば互いに加えることができ、この算法を行列の加法、演算の結果を和と言う。異なる型の行列に対しては和は定義されない。つまり、m 行 n 列の行列同士の和を、成分ごとの和 A + B := [ a i j + b i j ] i = 1 , … , m , j = 1 , … , n {\displaystyle A+B:=[a_{ij}+b_{ij}]_{i=1,\ldots ,m, \atop j=1,\ldots ,n}} で定める。 例えば [ 5 6 − 7 8 ] + [ 1 − 2 3 − 4 ] = [ 5 + 1 6 + ( − 2 ) − 7 + 3 8 + ( − 4 ) ] = [ 6 4 − 4 4 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}5&6\\-7&8\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&-2\\3&-4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5+1&6+(-2)\\-7+3&8+(-4)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}6&4\\-4&4\\\end{bmatrix}}} である。 線型代数学において成分はふつう（実数や複素数の全体のような）体であり、この場合の行列の加法は、結合的かつ可換であり、また単位元として零行列 0 ≡ O := [ 0 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 0 ] {\displaystyle 0\equiv O:={\begin{bmatrix}0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0\end{bmatrix}}} を持つ。一般に、これらの三性質を満たす代数系に成分を持つ（同じ型の）行列の全体は、やはりこれらの性質を満たす。
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加法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/15 10:26 UTC 版)
同様に加法もまた x + y = { X L ∣ X R } + { Y L ∣ Y R } = { X L + y , x + Y L ∣ X R + y , x + Y R } {\displaystyle x+y=\{X_{L}\mid X_{R}\}+\{Y_{L}\mid Y_{R}\}=\{X_{L}+y,x+Y_{L}\mid X_{R}+y,x+Y_{R}\}} と帰納的に定義される。ただし、X + y := {x + y : x ∈ X} および x + Y := {x + y : y ∈ Y} は元と集合との和の集合（英語版）である。 この定義式には、もととなる被演算子の一方（これは数ではなく「形式」である）と、他方の左集合または右集合からとった超現実「数」との和が現れているが、これはその数に対してはそれを表す形式を一つ選んで形式の間での和を計算し、その結果得られる形式の属する同値類をとった超現実数を意味するものと理解する。これもやはり、結果として得られる数が被演算子となる数を表す形式の選び方に依存しない場合にのみ矛盾なく定義可能となるが、これはその特別の場合である 0 + 0 = { | } + { | } := { | } = 0 および x + 0 = x + { ∣ } := { X L + 0 ∣ X R + 0 } = { X L ∣ X R } = x , 0 + y = { ∣ } + y := { 0 + Y L ∣ 0 + Y R } = { Y L ∣ Y R } = y {\displaystyle {\begin{aligned}x+0=x+\{{}\mid {}\}&:=\{X_{L}+0\mid X_{R}+0\}=\{X_{L}\mid X_{R}\}=x,\\0+y=\{{}\mid {}\}+y&:=\{0+Y_{L}\mid 0+Y_{R}\}=\{Y_{L}\mid Y_{R}\}=y\end{aligned}}} が成り立つことから帰納的に示せる（後ろ二つの式それ自体も帰納的に証明されるものであることに注意する）。
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加法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/01/24 06:56 UTC 版)
多項式基底を用いた加法は、p を法とする加法と同程度簡単なものである。例えば、GF(3m) においては、 が成立する。GF(2m) においては、2 を法とする加法と減法が同じものであるため、加法は特に簡単となる。さらに、この作用は基本的なXOR論理ゲートを用いるハードウェアにおいて実行することが出来る。
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