ユークリッド空間への埋め込みを使用した非公式な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/28 14:14 UTC 版)
「共変微分」の記事における「ユークリッド空間への埋め込みを使用した非公式な定義」の解説
M {\displaystyle M} は、リーマン多様体(あるいは擬リーマン多様体)であり、 Ψ → : R d ⊃ U → R n {\displaystyle {\vec {\Psi }}:\mathbb {R} ^{d}\supset U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}} (C2 写像)によって、ユークリッド空間 ( R n , ⟨ ⋅ ; ⋅ ⟩ ) {\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\langle \cdot ;\cdot \rangle )} に、埋め込まれているものとする。但し、この埋め込みは、以下の性質を両方充たしているものとする。 すべての Ψ → ( p ) ∈ M {\displaystyle {\vec {\Psi }}(p)\in M} において、 Ψ → ( p ) ∈ M {\displaystyle {\vec {\Psi }}(p)\in M} の接ベクトル空間が、以下の(eq.01)のベクトル達によって張られる。 { ∂ Ψ → ∂ x i | p : i ∈ { 1 , … , d } } {\displaystyle \left\lbrace \left.{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}}}\right|_{p}:i\in \lbrace 1,\dots ,d\rbrace \right\rbrace } … (eq.01) R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の標準内積が、Mの計量とcompatibleになる、 ここで、「 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の標準内積が、Mの計量とcompatible」とは、以下の(eq.02)が、任意のi,j =1,2,...,d に対して成り立つことを意味する。 g i j = ⟨ ∂ Ψ → ∂ x i ; ∂ Ψ → ∂ x j ⟩ {\displaystyle g_{ij}=\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}}};{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}}\right\rangle } … (eq.02) この多様体の計量gは、任意の点で正則であると仮定されているため、上記のcompatibility が成り立つことにより、(eq.01)の「偏導関数として定まった接ベクトルの組み」が線形独立であることも言える。 以下の(eq.03)のベクトル場を、iについて偏微分すると、(eq.04)のようになる。（但し、(eq.03)、(eq.04)はアインシュタインの縮約記法を用いて表記されている。） V → = v j ∂ Ψ → ∂ x j {\displaystyle {\vec {V}}=v^{j}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}}\,} … (eq.03) ∂ V → ∂ x i = ∂ v j ∂ x i ∂ Ψ → ∂ x j + v j ∂ 2 Ψ → ∂ x i ∂ x j {\displaystyle {\frac {\partial {\vec {V}}}{\partial x^{i}}}={\frac {\partial v^{j}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}}+v^{j}{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}} … (eq.04) このとき、(eq.04)の二階微分の項は、 M {\displaystyle M} の接ベクトル空間からはみ出している。 ここで、レヴィ・チヴィタ接続を考える場合、共変微分 ∇ e i V → {\displaystyle \nabla _{\mathbf {e} _{i}}{\vec {V}}} は、「Vの第i偏導関数の、接ベクトル空間への直交射影」として以下のように定義される。 ∇ e i V → := ∂ V → ∂ x i − n → {\displaystyle \nabla _{\mathbf {e} _{i}}{\vec {V}}:={\frac {\partial {\vec {V}}}{\partial x^{i}}}-{\vec {n}}} … (eq.05) さらに、 ∇ e i V → {\displaystyle \nabla _{\mathbf {e} _{i}}{\vec {V}}} は、以下のように書ける。 ∇ e i V → = ( ∂ v k ∂ x i + v j Γ k i j ) ∂ Ψ → ∂ x k . {\displaystyle \nabla _{\mathbf {e} _{i}}{\vec {V}}=\left({\frac {\partial v^{k}}{\partial x^{i}}}+v^{j}{\Gamma ^{k}}_{ij}\right){\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}}.} … (eq.06) 前述のように(eq.04)の二階微分の項は、 M {\displaystyle M} の接ベクトル空間からはみ出しているが、 係数 Γ k i j {\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ij}} （これは実はクリストッフェルの記号と一致する）と、接ベクトル空間の基底と、 M {\displaystyle M} の接ベクトル空間に直交するベクトル（場） n → {\displaystyle {\vec {n}}} と、を組み合わせることで、以下のように分解できる。(アインシュタインの縮約記法を用いている。) ∂ 2 Ψ → ∂ x i ∂ x j = Γ k i j ∂ Ψ → ∂ x k + n → {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}={\Gamma ^{k}}_{ij}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}}+{\vec {n}}} … (eq.07) n → {\displaystyle {\vec {n}}} は接ベクトル空間に対して直交しているため、二階偏導関数を(eq07)のように分解した状態で第l方向の偏導関数と内積を取れば、以下のようになる。 ⟨ ∂ 2 Ψ → ∂ x i ∂ x j ; ∂ Ψ → ∂ x l ⟩ = Γ k i j ⟨ ∂ Ψ → ∂ x k ; ∂ Ψ → ∂ x l ⟩ = Γ k i j g k l {\displaystyle \left\langle {\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}};{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{l}}}\right\rangle ={\Gamma ^{k}}_{ij}\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}};{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{l}}}\right\rangle ={\Gamma ^{k}}_{ij}\,g_{kl}} … (eq.08) 一方で、(eq.02)の両辺を内積の偏微分の公式を使って偏微分すると、 ∂ g a b ∂ x c = ⟨ ∂ 2 Ψ → ∂ x c ∂ x a ; ∂ Ψ → ∂ x b ⟩ + ⟨ ∂ Ψ → ∂ x a ; ∂ 2 Ψ → ∂ x c ∂ x b ⟩ {\displaystyle {\frac {\partial g_{ab}}{\partial x^{c}}}=\left\langle {\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{c}\,\partial x^{a}}};{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{b}}}\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{a}}};{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{c}\,\partial x^{b}}}\right\rangle } … (eq.09) であり、これを行列をつかって整理すると、 ( ∂ g j k ∂ x i ∂ g k i ∂ x j ∂ g i j ∂ x k ) = ( 0 1 1 1 0 1 1 1 0 ) ( ⟨ ∂ Ψ → ∂ x i ; ∂ 2 Ψ → ∂ x j ∂ x k ⟩ ⟨ ∂ Ψ → ∂ x j ; ∂ 2 Ψ → ∂ x k ∂ x i ⟩ ⟨ ∂ Ψ → ∂ x k ; ∂ 2 Ψ → ∂ x i ∂ x j ⟩ ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{i}}}\\{\frac {\partial g_{ki}}{\partial x^{j}}}\\{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}}};{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}\,\partial x^{k}}}\right\rangle \\\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}};{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}\,\partial x^{i}}}\right\rangle \\\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}};{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}\right\rangle \end{pmatrix}}} … (eq.10) (内積の対称性を使用し、偏微分の順序を入れ替える) ∂ g j k ∂ x i + ∂ g k i ∂ x j − ∂ g i j ∂ x k = 2 ⟨ ∂ Ψ → ∂ x k ; ∂ 2 Ψ → ∂ x i ∂ x j ⟩ {\displaystyle {\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial g_{ki}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}=2\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}};{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}\right\rangle } … (eq.11) そして、計量がかかった、レヴィ・チヴィタ接続の係数（クリストッフェル記号）が得られた。 g k l Γ k i j = 1 2 ( ∂ g j l ∂ x i + ∂ g l i ∂ x j − ∂ g i j ∂ x l ) {\displaystyle g_{kl}{\Gamma ^{k}}_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{jl}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial g_{li}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{l}}}\right)} … (eq.12) 上記の説明の本質を捉えた非常に簡単な例は、以下のようにして得られる。 平らな紙の上に円を描く。 そして一定の速度で円周を移動する。速度の導関数である加速度ベクトルは、常に放射状に内側を指す。 この紙を円柱に巻きつける。 これで、速度の(ユークリッド空間における)導関数は、あなたが至点 (solstice)と分点(equinox)のどちらに近いかに応じて、内向き(円柱の中心軸に向かって内側を指す方向)の成分を持ち得る。 (円周上の点であっても、運動が円柱の中心軸に平行になる場合には内向きの加速度は発生しない。逆に、速度が円柱の曲げ(bend)に沿っているような点(1/4 of a circle later)において、内向きの加速度が最大になる。) これは(ユークリッド空間における)法線'成分である。共変微分成分は、円柱の側面に平行な成分であり、シートを円柱に巻き付ける前と同じである。
※この「ユークリッド空間への埋め込みを使用した非公式な定義」の解説は、「共変微分」の解説の一部です。
「ユークリッド空間への埋め込みを使用した非公式な定義」を含む「共変微分」の記事については、「共変微分」の概要を参照ください。
- ユークリッド空間への埋め込みを使用した非公式な定義のページへのリンク
