クリストッフェル記号
クリストッフェルの記号
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/18 07:35 UTC 版)
「レヴィ・チヴィタ接続」の記事における「クリストッフェルの記号」の解説
∇ をリーマン計量の接続とする。局所座標 x 1 … x n {\displaystyle x^{1}\ldots x^{n}} を選び、 Γ l j k {\displaystyle \Gamma ^{l}{}_{jk}} をこれらの座標についてのクリストッフェル記号とする。条件 2 の捩れがないということは、従って、対称性 Γ l j k = Γ l k j {\displaystyle \Gamma ^{l}{}_{jk}=\Gamma ^{l}{}_{kj}} に同値である。上で導いたレヴィ・チヴィタ接続の定義は、クリストッフェルの記号の定義に同値であることが、計量のことばでは、: Γ l j k = 1 2 ∑ r g l r { ∂ k g r j + ∂ j g r k − ∂ r g j k } {\displaystyle \Gamma ^{l}{}_{jk}={\tfrac {1}{2}}\sum _{r}g^{lr}\left\{\partial _{k}g_{rj}+\partial _{j}g_{rk}-\partial _{r}g_{jk}\right\}} であることから分かる。ここに通常通り、 g i j {\displaystyle g^{ij}} は双対計量テンソルの係数、つまり、行列 ( g k l ) {\displaystyle (g_{kl})} の逆行列の要素を持つ行列である。
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