等比数列
等比数列
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/25 07:15 UTC 版)
等比数列 x k = 2 k n ( k = 0 , 1 , 2 , … , n ) {\displaystyle x_{k}=2^{\frac {k}{n}}\;(k=0,1,2,\dots ,n)} をとると、左和と右和は、それぞれ、 ∑ k = 0 n − 1 ( 2 k n ) 2 ( 2 k + 1 n − 2 k n ) = 7 2 2 n + 2 1 n + 1 {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\left(2^{\frac {k}{n}}\right)^{2}\,(2^{\frac {k+1}{n}}-2^{\frac {k}{n}})={\frac {7}{2^{\frac {2}{n}}+2^{\frac {1}{n}}+1}}} ∑ k = 1 n ( 2 k n ) 2 ( 2 k n − 2 k − 1 n ) = 7 2 − 2 n + 2 − 1 n + 1 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\left(2^{\frac {k}{n}}\right)^{2}\,(2^{\frac {k}{n}}-2^{\frac {k-1}{n}})={\frac {7}{2^{-{\frac {2}{n}}}+2^{-{\frac {1}{n}}}+1}}} となる。 等差数列か等比数列か、左和か右和かに関係なく、 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } での極限ではいずれも。 ∫ 1 2 x 2 d x = 7 3 {\displaystyle \int _{1}^{2}x^{2}dx={\frac {7}{3}}}
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等比数列
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/23 02:48 UTC 版)
「フロベニウスの硬貨交換問題」の記事における「等比数列」の解説
等比数列を要素とする整数の集合のフロベニウス数の閉形式での解も存在する。いずれも整数のa, b, k に対して、a と b の最大公約数が1であれば、その要素は a k , a k − 1 b , a k − 2 b 2 , ⋯ a 2 b k − 2 , a b k − 1 , b k {\displaystyle a^{k},a^{k-1}b,a^{k-2}b^{2},\cdots a^{2}b^{k-2},ab^{k-1},b^{k}} という対称な形となり、 g ( a k , a k − 1 b , ⋯ , a b k − 1 , b k ) = b k − 1 ( a b − a − b ) + a 2 ( b − 1 ) ( a k − 1 − b k − 1 ) a − b {\displaystyle g(a^{k},a^{k-1}b,\cdots ,ab^{k-1},b^{k})=b^{k-1}(ab-a-b)+{\frac {a^{2}(b-1)(a^{k-1}-b^{k-1})}{a-b}}} である。 また、 σ k ( a , b ) = a k + a k − 1 b + ⋯ + a b k − 1 + b k {\displaystyle \sigma _{k}(a,b)=a^{k}+a^{k-1}b+\cdots +ab^{k-1}+b^{k}} とすると、 g ( a k , a k − 1 b , ⋯ a b k − 1 , b k ) = σ k + 1 ( a , b ) − σ k ( a , b ) − ( a k + 1 + b k + 1 ) {\displaystyle g(a^{k},a^{k-1}b,\cdots ab^{k-1},b^{k})=\sigma _{k+1}(a,b)-\sigma _{k}(a,b)-(a^{k+1}+b^{k+1})} と簡潔に表せる。
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