調和四角形とは? わかりやすく解説

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調和四角形

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/12/30 14:36 UTC 版)

ユークリッド幾何学において、調和四角形[1](ちょうわしかくけい、: harmonic quadrilateral, harmonic quadrangle)は、円に内接し、2つの対辺の長さの積が等しい四角形である[2]調和共役類似中線と関連する幾つかの有用な性質を持つ。

性質

調和四角形ABCD対角線AC中点Mとする。

  • ACにおける外接円接線と直線BDは、一点で交わる(か平行である)。したがって、対角線のはもう一方の対角線上にある[3][4]
  • BMCDMCと等しい。
  • B, D二等分線は対角線AC上で交わる。
  • 対角線BDはそれぞれABC, △ADCの頂点B, Dにおける類似中線である。
  • 四角形の対角点と辺の距離と、辺長の比は等しい。
  • 対角点は四角形の内部の点の中で、辺との距離の平方の和を最小化する点である[5]
  • A, B, C, Dを複素平面上の点と見なしたとき、複比(ABCD) = −1である[4]

出典

  1. ^ Evan Chen 著、森田 康夫, 兒玉 太陽, 熊谷 勇輝, 宿田 彩斗, 平山 楓馬 訳『数学オリンピック幾何への挑戦』日本評論社、2023年、95, 239頁。ISBN 9784535789784 
  2. ^ Johnson, Roger A. (2007) [1929], Advanced Euclidean Geometry, Dover, p. 100, ISBN 978-0-486-46237-0 
  3. ^ Some Properties of the Harmonic Quadrilateral”. 2024年12月30日閲覧。 Proposition 7
  4. ^ a b HarmonicQuad”. 2024年12月30日閲覧。
  5. ^ Some Properties of the Harmonic Quadrilateral”. 2024年12月30日閲覧。 Proposition 6

参考文献

  • Gallatly, W. "The Harmonic Quadrilateral." §124 in The Modern Geometry of the Triangle, 2nd ed. London: Hodgson, pp. 90 and 92, 1913.

関連項目




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