調和共役 (幾何学)
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A, D, B, C は調和点列
KLMNは完全四辺形
射影幾何学において、調和共役（ちょうわきょうやく、英語: harmonic conjugate）は、実射影直線における以下の点の関係のことである[1][2][3][4][5]。
- 同一直線上にある三点 A, B, CについてLをその直線上にない点、M, NをそれぞれあるCを通る直線とLA, LBの交点とする。またANとBMの交点をKとする。LKとABの交点DをCのA,Bに対する調和共役点という[6][7][8][9]。
Dは複比の不変性やデザルグの定理により、点Lや直線MNの取り方に依らない。
またこのときの複比については (A, B; C, D) = −1が成り立つ。
平面幾何学では{P,Q}調和共役（{P,Q}-harmonic conjugate）と書かれることもある[10]。
複比の基準
A, D, B, Cは調和点列（Harmonic range）または調和列点と呼ばれている[11][12][13][14][15][16][17]。ABに対するDの内分比とCの外分比は常に等しい。つまり以下が成り立つ。
aとbの中点xに対しての分割比は-1である。
ジョン・ウェスレー・ヤングによれば、完全四角形によって中点を定義することができる。
- 2直線 AQ, AS についてそれぞれ平行な直線,BS, BQ を描く。 AQ, SB の交点は無限遠点R、AS, QBの交点無限遠点Pである。完全四角形PQRS の対角線は直線ABと、AB上の無限遠点Mである。平行四辺形の対角線の交点は対角線を二等分することより、 Mの調和共役点はABの中点である[26]。
円錐曲線
→詳細は「極と極線」を参照
円錐曲線CとC上にないPについて、Pを通る直線とCの交点をそれぞれA,Bとする。直線が動くとき、 PのA,Bに対する調和共役点は、ある直線上を動く。この時Pを極（pole）、調和共役点の動く直線をPの極線（polar line）と言う。
反転幾何学
→詳細は「反転幾何学」を参照
特に円の場合、調和共役は円による反転と等しい。これはSmogorzhevskyの定理の一つである[27]。
- 円k, q が垂直に交わっているときk,qの中心を結ぶ直線とqの2つの交点はkについて、反転の関係にある。また、kの中心,kと直線のq側の交点に対してk,qの中心を結ぶ直線とqの2つ交点は調和共役の関係にある。
円錐曲線とヨアヒムスタールの方程式
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