調和共役_(幾何学)

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調和共役 (幾何学)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/04/29 09:13 UTC 版)

「共役調和関数」とは異なります。

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DはA,Bに対するCの調和共役
A, D, B, C は調和点列
KLMNは完全四辺形

射影幾何学において、調和共役（ちょうわきょうやく、英語: harmonic conjugate）は、実射影直線における以下の点の関係のことである^{[1][2][3][4][5]}。

同一直線上にある三点 A, B, CについてLをその直線上にない点、M, NをそれぞれあるCを通る直線とLA, LBの交点とする。またANとBMの交点をKとする。LKとABの交点DをCのA,Bに対する調和共役点という^[6][7][8][9]。

Dは複比の不変性やデザルグの定理により、点Lや直線MNの取り方に依らない。

またこのときの複比については (A, B; C, D) = −1が成り立つ。

平面幾何学では{P,Q}調和共役（{P,Q}-harmonic conjugate）と書かれることもある^[10]。

複比の基準

A, D, B, Cは調和点列（Harmonic range）または調和列点と呼ばれている^{[11][12][13][14][15][16][17]}。ABに対するDの内分比とCの外分比は常に等しい。つまり以下が成り立つ。$${\displaystyle {\overline {AC}}:{\overline {BC}}={\overline {AD}}:{\overline {DB}}\,.}$$

中点と無限遠点

aとbの中点xに対しての分割比は-1である。$${\displaystyle t(x)={\frac {x-a}{x-b}}=-1.}$$

P₁ = A, P₂ = S, P₃ = B, P₄ = Q, D = M

ジョン・ウェスレー・ヤングによれば、完全四角形によって中点を定義することができる。

2直線 AQ, AS についてそれぞれ平行な直線,BS, BQ を描く。 AQ, SB の交点は無限遠点R、AS, QBの交点無限遠点Pである。完全四角形PQRS の対角線は直線ABと、AB上の無限遠点Mである。平行四辺形の対角線の交点は対角線を二等分することより、 Mの調和共役点はABの中点である^[26]。

円錐曲線

→詳細は「極と極線」を参照

円錐曲線CとC上にないPについて、Pを通る直線とCの交点をそれぞれA,Bとする。直線が動くとき、 PのA,Bに対する調和共役点は、ある直線上を動く。この時Pを極（pole）、調和共役点の動く直線をPの極線（polar line）と言う。

反転幾何学

→詳細は「反転幾何学」を参照

特に円の場合、調和共役は円による反転と等しい。これはSmogorzhevskyの定理の一つである^[27]。

円k, q が垂直に交わっているときk,qの中心を結ぶ直線とqの2つの交点はkについて、反転の関係にある。また、kの中心,kと直線のq側の交点に対してk,qの中心を結ぶ直線とqの2つ交点は調和共役の関係にある。

円錐曲線とヨアヒムスタールの方程式

${\displaystyle C}$

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