物理学での応用
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「グロモフ・ウィッテン不変量」の記事における「物理学での応用」の解説
グロモフ・ウィッテン不変量は、一般相対論と量子力学を統一しようとする試みである物理学の分野である弦理論で興味を持たれている。この理論では、基本粒子で始まる宇宙の万物が、小さな弦（英語版）から作られているとする。弦が時空の中を移動するとき、軌跡として曲面ができ、この極限を弦のワールドシートと呼ぶ。不幸にも、そのようなパラメトライズされた曲面のモジュライ空間は、すくなくとも前提的には、無限次元である。この空間上には適切な測度が知られていないので、経路積分が厳密に定義できない。 状況は、閉じたA-モデルとして知られる変形で改善される。ここでは 6次元の時空であり、シンプレクティック多様体を形成していて、ワールドシートが必然的に擬正則曲線によりパラメトライズされ、有限次元のモジュライ空間となることが判明している。従って、GW不変量は、モジュライ空間上の積分として、理論の経路積分である。特に、種数 g での A-モデルの自由エネルギーは、種数 g のGW不変量の母函数である。
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物理学での応用
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「1+2+3+4+…」の記事における「物理学での応用」の解説
ボゾン弦理論（英語版）では、弦の取り得るエネルギー準位、とくに最低エネルギー準位を計算することが試みられる。砕けた言い方をすると、時空の次元を D とするとき、弦の振動は D − 2 個の独立な量子調和振動子（各々は横波）の集まりと見ることができて、基本振動数、すなわち弦の振動数の中で最も小さいものを ν とすると振動子のエネルギーにおける n 番目の振動子の寄与は hνn/2 と表せるので、件の級数を用いれば全ての振動数に亘る和を計算すると −hν(D − 2)/24 が得られる。最終的には、この事実にゴダード・ソーンの定理（英語版）を合わせて、ボゾン弦理論が 26 次元でないと無矛盾にならないことが導かれる。また、これに超対称性を取り入れた超弦理論は９次元（+時間1次元で計10次元）において無矛盾であることが示される。 級数 1 + 2 + 3 + 4 + … の計算は一次元のスカラー場に対するカシミール力の計算にも関わってくる。指数的カットオフ関数は級数を滑らかにするのに充分で、これは高エネルギー状態が導電性板によってブロックされないという事実を表している。この問題の空間対称性はこの展開の二次の項がキャンセルされることの原因である。残るのは定数項 −1/12 であるが、この負符号はカシミール力が吸引力であるという事実を反映している。 同様の計算は 3 次元でも存在し、リーマンゼータの代わりにエプスタインゼータが用いられる。
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