測度
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/11/18 16:04 UTC 版)
以下、X は局所コンパクトな位相空間を表すものとする。X 上のコンパクト台付き実数値連続関数の全体はベクトル空間 K(X) を成し、これに自然な局所凸位相を入れることができる。実際、K(X) は台がコンパクト集合 K に含まれる連続関数の成す部分空間 K(X, K) の合併であって、各空間 K(X, K) は一様収束の位相が入ってバナッハ空間になるが、位相空間の合併というのは位相空間の帰納極限の特別な場合であって、然るに空間 K(X) は空間族 K(X, K) から誘導される帰納極限位相が入るのである。 測度 m が X 上のラドン測度ならば、写像 I : f ↦ ∫ f d m {\displaystyle I\colon f\mapsto \int f\,dm} は K(X) から R への連続な正値線型写像になる。ここで、正値性というのは f が非負値関数である限りにおいて I(f) ≥ 0 となることを意味し、また連続性は上記の帰納極限位相に関して言うが、次の条件 X の任意のコンパクト部分集合 K に対し、定数 MK が存在して、X 上の実数値連続関数 f でその台が K に含まれるようなもの全てに対して | I ( f ) | ≤ M K sup x ∈ X | f ( x ) | {\displaystyle |I(f)|\leq M_{K}\sup _{x\in X}|f(x)|} とすることができる。 とも同値である。逆に、リースの表現定理によって、K(X) 上の各正値線型形式からラドン測度に関する積分が生じるから、従ってそれは K(X) 上の連続正値線型形式である。 実数値ラドン測度は K(X) 上の（正値とは限らない）「任意の」連続線型形式として定義される（これはちょうど二つのラドン測度の差になっている）。これは実数値ラドン測度の全体と局所凸空間 K(X) の双対空間との同一視を与える。例えば、sin(x)dx は実数値ラドン測度になるが、少なくとも一方が有限な二つの測度の差として書くことはできないから、符号付測度に拡張することさえできない。 いくつかの文献では（正値）ラドン測度を K(X) 上の正値線型形式として定義する古いやり方が用いられる（Bourbaki (2004), Hewitt & Stromberg (1965),Dieudonné (1970) 等を参照）。この設定では、上で述べた意味でのラドン測度を「正値測度」と呼び、上記の意味での実数値ラドン測度を「（実）測度」と呼ぶ用語法を用いるが普通である。
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測度
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/14 18:41 UTC 版)
近接性の測度として、Pirie (1979)をもとに一部修正して、ネットワークに基づく測度、ポテンシャル測度、累積機会に基づく測度の3つに分類することができる。
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測度
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/12 13:57 UTC 版)
集積を定量的に把握する場合、点パターン分析（英語版）を利用することができる。セントログラフィーや最近隣尺度などを用いて、点分布パターンが凝集分布・ランダム分布・均等分布のいずれかに分類されるのかを判定することになる。
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