小数との置換表

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小数との置換表

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/01 12:16 UTC 版)

「二十進法」の記事における「小数との置換表」の解説

以下の表に、二十進法の小数と、それに相当する分数や商を掲載する。割り切れない小数の循環部分は下線で表す。二十は四と五では割り切れるが三では割り切れないので、三分割した際に循環小数になりやすい。 また、十進法は「10 - 1」が9で3の冪数になり、m/27の小数が37の倍数三桁が循環するのに対して、二十進法は「10 - 1」がJ（十進法の19）で3の冪数ではないので、1/9の循環小数は 0.248HFB…で六桁になり、三桁ごとに「248＝888(10)の倍数か、その近隣の数」が現れる。24は十進法の44（＝11×4）、248は十進法の888（＝37×3×8）、HFBは十進法の7111（二十進換算で HF4 + 7 = HFB。HF4(20) = 7104(10) = (888×8)(10)）、6D6は十進法の2666（二十進換算で 6D4 + 2 = 6D6。6D4(20) = 2664(10) = (888×3)(10)）となるが、これは二十の累乗数の六進表記からも引き出せる。1/9の近似値は二桁なら 100(20) = 1504(6) → (11×4 = 44)(10) = 24(20)、三桁なら 1000(20) = 101012(6) → (37×3×8 = 888)(10) = 248(20) となる。(1/27)10の近似値も、1000(20) = 101012(6) から (37×8 = 296)(10) = EG(20) となり、循環節が「0EG 5IA 782 J53 E19 CBH」の十八桁だが、三桁ごとに「EG＝296(10)の倍数か、その近隣の数」が現れる。先頭九桁を見ると、EG(20)＝296(10)の倍数は、5IA(20)＝2370(10)の近くに5I8(20)＝2368(10)（= (296×8)(10)）が、782(20)＝2962(10)の近くに780(20)＝2960(20)（= (296×10)(10)）が位置している。 B（十一）以後の素数は、D（十三）、H（十七）、J（十九）となる。このように、三を漏らしても四と五を約数に入れていることから、二十進法は「大から小へ」の分割法を採っているとも言える。 二十進法の除算の特徴が現れる例は、「3で割り切れるが、2と5と9では割り切れない数」が被除数になるパターンが代表的である。このパターンでは、(10)20以下の3の倍数で割り切れない数は9とI（十八）、4の倍数は(14)20＝(24)10まで全てで割り切れ、5の倍数は(1A)20＝(30)10までの全てで割り切れる例になる。 二十進法の小数と除算（二分割から十分割まで）除数23456789A被除数が1 0.A 0.6D6D… 0.5 0.4 0.36D6D… 0.2H2H… 0.2A 0.248HFB… 0.2 被除数が3 1.A 1 0.F 0.C 0.A 0.8B8B… 0.7A 0.6D6D… 0.6 被除数が8 4 2.D6D6… 2 1.C 1.6D6D… 1.2H2H… 1 0.HFB248… 0.G 被除数がD（十進法の13） 6.A 4.6D6D… 3.5 2.C 2.36D6D… 1.H2H2… 1.CA 1.8HFB24… 1.6 被除数がI（十進法の18） 9 6 4.A 3.C 3 2.B8B8… 2.5 2 1.G 被除数が10（十進法の20） A 6.D6D6… 5 4 3.6D6D… 2.H2H2… 2.A 2.48HFB2… 2 被除数が13（十進法の23） B.A 7.D6D6… 5.F 4.C 3.GD6D6… 3.5E5E… 2.HA 2.B248HF… 2.6 被除数が1A（十進法の30） F A 7.A 6 5 4.5E5E… 3.F 3.6D6D… 3 被除数が30（十進法の60） 1A 10 F C A 8.B8B8… 7.A 6.D6D6… 6 被除数が4A（十進法の90） 25 1A 12.A I F C.H2H2… B.5 A 9 被除数が74（十進法の144） 3C 28 1G 18.G 14 10.B8B8… I G E.8 被除数がC9（十進法の249） 64.A 43 32.5 29.G 21.A 1F.B8B8… 1B.2A 17.D6D6… 14.I 被除数が100（十進法の400） A0 6D.6D6D… 50 40 36.D6D6… 2H.2H2H… 2A 24.8HFB24… 20 被除数が468（十進法の1728） 234 18G 11C H5.C E8 C6.H2H2… AG 9C 8C.G 二十進法の小数と除算（十一分割から二十分割まで）除数BCDEFGHIJ101 0.1G759 0.1D6D6 0.1AF7DGI94C63 0.18B8B 0.16D6D 0.15 0.13ABF5HCI… 0.1248HFB 0.111 0.1 3 0.59167 0.5 0.4C631AF7DGIG 0.45E5E 0.4 0.3F 0.3ABF5HCIG… 0.36D6D 0.333 0.3 8 0.EAI3C 0.D6D6 0.C631AF7DGI94 0.B8B8 0.AD6D6 0.A 0.984E2713A… 0.8HFB24 0.888 0.8 D（1310） 1.3CEAI 1.1D6D6 1 0.IB8B8 0.H6D6D 0.G5 0.F5HCIG984… 0.E8HFB24 0.DDD 0.D I（1810） 1.CEAI3 1.A 1.7DGI94C631AF 1.5E5E 1.4 1.2A 1.13ABF5HCI… 1 0.III 0.I 10（2010） 1.G7591 1.D6D6 1.AF7DGI94C631 1.8B8B 1.6D6D 1.5 1.3ABF5HCIG… 1.248HFB 1.111 1 13（2310） 2.IG759 1.I6D6D 1.F7DGI94C631A 1.CH2H2 1.AD6D6 1.8F 1.713ABF5HC… 1.5B248HF 1.444 1.3 1A（3010） 2.EAI3C 2.A 2.631AF7DGI94C 2.2H2H 2 1.HA 1.F5HCIG984… 1.D6D6 1.BBB 1.A 30（6010） 5.91G75 5 4.C631AF7DGI94 4.5E5E 4 3.F 3.ABF5HCIG9… 3.6D6D 3.333 3 4A（9010） 8.3CEAI 7.A 6.I94C631AF7DG 6.8B8B 6 5.CA 5.5HCIG984E… 5 4.EEE 4.A 74（14410） D.1G759 C B.1AF7DGI94C63 A.5E5E 9.C 9 8.984E2713A… 8 7.BBB 7.4 C9（24910） 12.CEAI3 10.F J.31AF7DGI94C6 H.FE5E5 G.C F.B5 E.CIG984E27… D.GD6D6 D.222 C.9 100（40010） 1G.7591G 1D.6D6D 1A.F7DGI94C631A 18.B8B8 16.D6D6 15 13.ABF5HCIG9… 12.48HFB2 11.111 10 468（172810） 7H.1G759 74 6C.I94C631AF7DG 63.8B8B 5F.4 58 51.CIG984E27… 4G 4A.III 46.8 二十進法の小数と分数（五分割まで）分数1/2 (= 2/4)1/32/31/43/41/52/53/54/5被除数が1 0.A 0.6D6D… 0.D6D6… 0.5 0.F 0.4 0.8 0.C 0.G 被除数が3 1.A 1 2 0.F 2.5 0.C 1.4 1.G 2.8 被除数が8 4 2.D6D6… 5.6D6D… 2 6 1.C 3.4 4.G 6.8 被除数がD（十進法の13） 6.A 4.6D6D… 8.D6D6… 3.5 9.F 2.C 5.4 7.G A.8 被除数がI（十進法の18） 9 6 C 4.A D.A 3.C 7.4 A.G E.8 被除数が10（十進法の20） A 6.D6D6… D.6D6D… 5 F 4 8 C G 被除数が13（十進法の23） B.A 7.D6D6… F.6D6D… 5.F H.5 4.C 9.4 D.G I.8 被除数が1A（十進法の30） F A 10 7.A 12.A 6 C I 14 被除数が30（十進法の60） 1A 10 20 F 25 C 14 1G 28 被除数が4A（十進法の90） 25 1A 30 12.A 37.A I 1G 2E 3C 被除数がI0（十進法の360） 90 60 C0 4A DA 3C 74 AG E8 無理数の換算表主な無理数二十進法十二進法十進法円周率 3.2GCEG9 GBHB74… 3.184809 493B86… 3.141592 653589… 2の平方根 1.85DE37 JGEJA8… 1.4B7917 0A07B7… 1.414213 562373… 3の平方根 1.ECG82B DDEG68… 1.894B97 BB967B… 1.732050 807568… 5の平方根 2.4E8AHA B3J9F4… 2.29BB13 254051… 2.236067 977499… 黄金比 1.C7458F 5BJ9F4… 1.74BB67 728022… 1.618033 988749… 5の冪数の逆数（分子・分母は十進換算値）冪指数-1 (1/5)-2 (1/25)-3 (1/125)-4 (1/625)-5 (1/3125)-6 (1/15625)二十進小数0.4 0.0G 0.034 0.00CG 0.002B4 0.000A4G 十進小数0.2 0.04 0.008 0.0016 0.00032 0.000064 二十進小数の分子4 16 64 256 1024 4096 十進小数の分子2 4 8 16 32 64 二十進小数の分母20 400 8000 160000 3200000 64000000 十進小数の分母10 100 1000 10000 100000 1000000 2の冪数の逆数（分子・分母は十進換算値）冪指数-1 (1/2)-2 (1/4)-3 (1/8)-4 (1/16)-5 (1/32)-6 (1/64)-7 (1/128)-8 (1/256)二十進小数0.A 0.5 0.2A 0.15 0.0CA 0.065 0.032A 0.01B5 十進小数0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.0078125 0.00390625 六進小数0.3 0.13 0.043 0.0213 0.01043 0.003213 0.0014043 0.00050213 二十進小数の分子10 5 50 25 250 125 1250 625 十進小数の分子5 25 125 625 3125 15625 78125 390625 六進小数の分子3 9 27 81 243 729 2187 6561 二十進小数の分母20 20 400 400 8000 8000 160000 160000 十進小数の分母10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000 100000000 六進小数の分母6 36 216 1296 7776 46656 279936 1679616 このように、除数が2の冪数の割り算における分子・分母の数値は、二十進法は十進法よりも六進法に近い。これは、二十（4×5）と六（2×3）が共に矩形数だからである。例えば、2-6の小数の分子・分母は、二十進法と六進法は約6倍しか離れていないが、六進法と十進法は約21(10)倍の差で、二十進法と十進法は125(10)倍も離れている。