射影行列表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/14 03:18 UTC 版)
任意の 2 × 2 複素正則行列 H = ( a b c d ) {\displaystyle {\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}} に対して、メビウス変換 f ( z ) = a z + b c z + d {\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}} を対応させる。ad − bc ≠ 0 なる条件は、先の行列の行列式が 0 でない（つまり正則である）という条件と等価である。 ふたつの行列の積が対応するふたつのメビウス変換の合成に対応することは、直接計算で確かめることができる。言葉を変えれば、一般線型群 GL(2, C) からメビウス群への写像 π : G L ( 2 , C ) → Aut ( C ^ ) ; H ↦ f {\displaystyle \pi \colon {\mathit {GL}}(2,\mathbb {C} )\to {\mbox{Aut}}({\hat {\mathbb {C} }});\quad {\mathfrak {H}}\mapsto f} は、群準同型を定めている。ここで注意すべきは H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} を複素数 λ-倍して得られる行列はどれも同じメビウス変換に対応しているということであり、メビウス変換は対応する行列をそのようなスカラー倍の違いを除いて一意に決定するということである。すなわち、写像 π の核は単位行列 I のスカラー倍全体から成り、群の第一準同型定理から剰余群 GL(2, C)/(CI) がメビウス群に同型となることがわかる。さてこの剰余群は、一般射影線型群として知られ、通例 PGL(2, C) で表される。ここに、群の同型 Aut ( C ^ ) ≅ P G L ( 2 , C ) {\displaystyle {\mbox{Aut}}({\hat {\mathbb {C} }})\cong {\mathit {PGL}}(2,\mathbb {C} )} が得られたことになる。同様にして任意の体 K 上で、射影線型群 PGL(2, K) と射影分数変換全体の成す群、あるいは射影直線を保つ射影線型自己同型全体の成す群とが同一視できる。これは、特に K が有限体のとき、代数学的に意味のある事実である。一方、複素数体の場合は幾何学的に非常に重要である。 PGL(2,C) による複素射影直線 CP1 への自然な作用は、射影直線 CP1 とリーマン球面とを [ z 1 : z 2 ] ↔ z 1 / z 2 {\displaystyle [z_{1}:z_{2}]\leftrightarrow z_{1}/z_{2}} なる対応で同一視することにより、メビウス群のリーマン球面への作用にちょうど一致する。ここで、 [z1 : z2] は CP1 上の斉次座標であり、点 [1 : 0] がリーマン球面上の無限遠点 ∞ に対応する。 斉次座標を用いれば無限遠点 ∞ についての場合を分けて扱わずに済むので、メビウス変換に関する具体的な計算の多くが簡素化される。 上で、考える行列 H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} を行列式が 1 のものに制限すれば、写像 π {\displaystyle \pi } を制限して特殊線型群 SL(2,C) からメビウス群への全射が得られる。この状況下での核は単位行列の ±1-倍のみから成り、したがって剰余群 SL(2, C)/{±I}（これを PSL(2, C) と書く）とメビウス群との同型 Aut ( C ^ ) ≅ P S L ( 2 , C ) {\displaystyle {\mbox{Aut}}({\hat {\mathbb {C} }})\cong {\mathit {PSL}}(2,\mathbb {C} )} が得られる。このことから、メビウス群が 3-次元複素リー群（あるいは 6-次元実リー群）であることがわかる。これは半単純非コンパクトなリー群である。 任意に与えられたメビウス変換に対して、それを表現する行列式 1 の行列はちょうどふたつ存在する。つまり、SL(2, C) は PSL(2,C) の二重被覆である。また、SL(2, C) は単連結ゆえ、これはメビウス群の普遍被覆でもある。よって、メビウス群の基本群は Z2 であることがわかる。
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