射影空間の位相
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/23 08:58 UTC 版)
射影空間 KPn はアフィン空間 U0: x0 ≠ 0 と超平面 H: x0 = 0 の交わりのない和に書かれる。U は Kn と同一視され、H はひとつ次元の低い射影空間 KPn−1 と同一視されるので、この分解を帰納的に繰り返す事で K P n = K n ⨿ K n − 1 ⨿ ⋯ ⨿ K 1 ⨿ { p t } {\displaystyle KP_{n}=K^{n}\amalg K^{n-1}\amalg \cdots \amalg K^{1}\amalg \{pt\}} なる非交和分解を得る。K が R（もしくは C）の場合は、Kn は n 次元開球体 Don（もしくは 2n 次元開球体 Do2n）と同相であるのでこれはCW複体への分割 K P n = e n ∪ e n − 1 ∪ ⋯ ∪ e 1 ∪ e 0 {\displaystyle KP_{n}=e^{n}\cup e^{n-1}\cup \cdots \cup e^{1}\cup e^{0}} を与える。この胞体分割に付随するホモロジー複体を用いてホモロジー群が計算できる。K = C の場合には、奇数次の胞体が存在しない事から直ちに H i ( C P n , Z ) = { Z i ≡ 0 (mod 2) , 0 ≤ i ≤ 2 n 0 otherwise {\displaystyle H_{i}(\mathbb {C} P_{n},\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} &i\equiv 0\;{\mbox{(mod 2)}},\;0\leq i\leq 2n\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}} がわかる。実射影空間に関しては、Snから RPn への二重被覆を用いて貼り合わせ写像の重複度を計算するとこの胞体分割に付随するホモロジー複体は、Ci = Z (i = 0, 1, ..., n) とおくとき C 0 ⟵ 0 C 1 ⟵ 2 C 2 ⟵ ⋯ ← 1 + ( − 1 ) n C n {\displaystyle C_{0}{\overset {0}{\longleftarrow }}C_{1}{\overset {2}{\longleftarrow }}C_{2}\longleftarrow \cdots {\xleftarrow {1+(-1)^{n}}}C_{n}} で与えられるので、整数係数のホモロジー群は H i ( R P n , Z ) = { Z / 2 Z i ≡ 1 (mod 2) , 0 ≤ i ≤ n Z i = n ≡ 1 (mod 2) 0 otherwise {\displaystyle H_{i}(\mathbb {R} P_{n},\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} &i\equiv 1\;{\mbox{(mod 2)}},\;0\leq i\leq n\\\mathbb {Z} &i=n\equiv 1{\mbox{(mod 2)}}\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}} となる。係数を Z2 = Z/2Z に取り換えると、複素射影空間の場合と類似性の強い H i ( R P n , Z 2 ) = { Z 2 0 ≤ i ≤ n 0 otherwise {\displaystyle H_{i}(\mathbb {R} P_{n},\mathbb {Z} _{2})={\begin{cases}\mathbb {Z} _{2}&0\leq i\leq n\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}} が得られる。 任意のアーベル群 A に対して、A 係数のコホモロジー群もこのホモロジー複体に HomZ(–, A) を作用させて得られるコホモロジー複体のコホモロジーとして計算できる。特に、全てのコホモロジー群の直和 H ∗ ( K P n , A ) = ⊕ i ≥ 0 H i ( K P n , A ) {\displaystyle H^{*}(KP_{n},A)=\oplus _{i\geq 0}H^{i}(KP_{n},A)} にカップ積で積構造を入れて得られるコホモロジー環の構造は、複素射影空間に対しては H ∗ ( C P n , Z ) ≅ Z [ h ] / ( h n + 1 ) {\displaystyle H^{*}(\mathbb {C} P_{n},\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} [h]/(h^{n+1})} で得られる。実射影空間に対しても Z2 係数で考えれば類似の H ∗ ( R P n , Z 2 ) ≅ Z 2 [ h ] / ( h n + 1 ) {\displaystyle H^{*}(\mathbb {R} P_{n},\mathbb {Z} _{2})\cong \mathbb {Z} _{2}[h]/(h^{n+1})} が得られる。ここで、h は超平面のコホモロジー類である。 複素射影空間の場合、2k 番目のコホモロジー群 H 2 k ( C P n , Z ) {\displaystyle H^{2k}(\mathbb {C} P_{n},\mathbb {Z} )} は k 個の超平面の正しい交わり（それは CPn−k と同一視できる）で生成されているので、複素射影空間のコホモロジー環の構造は CPn の部分多様体の交わりの次数が次数の積になることをも意味している。これは、ベズーの定理の高次元化である。また、CPn はケーラー多様体であるので、ホッヂ分解が成り立つが、次元の理由によりそのホッヂ数は h p , q = dim H p ( C P n , Ω q ) = { 1 p = q ≤ n 0 otherwise {\displaystyle h^{p,q}=\dim H^{p}(\mathbb {C} P_{n},\Omega ^{q})={\begin{cases}1&p=q\leq n\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}} で与えられる。 部分多様体の交わりと次数に関する理論（交点理論）は射影空間 KPn （より正確にはスキーム論的な P K n {\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}} ）に対してチャウ環 (Chow ring) CH*(KPn) を考える事で任意の体 K 上へ一般化される。チャウ環もコホモロジー環と類似の記述 C H ∗ ( P K n ) ≅ Z [ h ] / ( h n + 1 ) {\displaystyle CH^{*}(\mathbb {P} _{K}^{n})\cong \mathbb {Z} [h]/(h^{n+1})} を持っている。
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