モジュラー函数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/18 10:17 UTC 版)
複素変数複素数値の函数 f がモジュラーである、あるいはモジュラー函数とは、以下の条件 f は上半平面 H 上で有理型である; モジュラー群 Γ に属する任意の行列 M に対して f(Mτ) = f(τ) を満たす; f のフーリエ級数は f ( τ ) = ∑ n = − m ∞ a ( n ) e 2 i π n τ {\displaystyle f(\tau )=\sum _{n=-m}^{\infty }a(n)e^{2i\pi n\tau }} の形に表され、これは下に有界、つまり e2iπτのローラン多項式であり、したがって尖点においても有理型である を満たすものを言う。任意のモジュラー函数がクラインの絶対不変量 j (τ) の有理函数として表され、また j (τ) の有理函数がモジュラー函数となることが示せる。さらに、任意の解析的モジュラー函数はモジュラー形式となるが、逆は必ずしも成り立たないことも示される。モジュラー函数 f が恒等的に 0 でないならば、基本領域 RΓ の閉包における f の零点の個数と極の個数とは一致する。
※この「モジュラー函数」の解説は、「モジュラー形式」の解説の一部です。
「モジュラー函数」を含む「モジュラー形式」の記事については、「モジュラー形式」の概要を参照ください。
モジュラー函数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/17 07:59 UTC 版)
局所コンパクト群 G とその上の左ハール測度 μ および G の元 g に対し、g による右移動 Rg で μ を移した Rgμ はやはり左不変測度である。したがってハール測度の一意性から R g μ = Δ G ( g ) μ {\displaystyle R_{g}\mu =\Delta _{G}(g)\mu } となる G 上の正値函数 ΔG が存在する。これを "群 G 上のモジュラー函数 (modular function)と呼ぶ。モジュールは絶対値 1 の複素数全体の成すコンパクト群 T1 を表現加群とする G の表現（群の指標）を与え、その意味でモジュラー指標 (modulus character) と呼ばれることもある。また、 Δ G − 1 μ ( x ) = μ ( x − 1 ) {\displaystyle \Delta _{G}^{-1}\mu (x)=\mu (x^{-1})} は右ハール測度であり、この式はハール測度 μ の取り方には依らないから、この意味でモジュール ΔG は「左右のハール測度のずれ」を測るものであるとみることもできる。特に ΔG が恒等的に 1 に等しいとき、局所コンパクト群 G は両側不変なハール測度を持ちユニモジュラー (unimodular) であるといわれる。 アーベル群が必ずユニモジュラーであることは直ちにわかる。 コンパクト群は、連続像がコンパクトであることと正数全体の成す乗法群 R ×+ の有界な部分群が {1} に限ることとの二者からやはり必ずユニモジュラーになる。 局所コンパクト群 G 上の左ハール測度 μ と自己同型 φ があれば、φ−1(μ) (φ−1(dμ(x)) := dμ(φ(x))) はやはり左不変測度であり φ−1(μ) = aμ なる正定数がある。このとき、mod(φ) = a と記して "自己同型 φ の" 母数、モジュールなどと呼ぶ。これはハール測度のとり方によらない（とくに右不変ハール測度から定義しても同じ値が現れる）ことが確かめられる。 左移動作用 Ls のモジュール modG(s) := mod(Ls)はちょうど ΔG(s) の逆数になる。 K が局所コンパクト体ならば、K の左正則表現の作用素、つまり乗法群 K×の元 s による加法群 K への左移動作用 L s : x ↦ s x {\displaystyle L_{s}\colon x\mapsto sx} は加法群 K 上の自己同型であるのでそのモジュールを考えることができるが、これを modK(s) と記す： m o d K ( s ) := m o d ( L s ) . {\displaystyle \mathrm {mod} _{K}(s):=\mathrm {mod} (L_{s}).} さらに、modK(0K) = 0K と置いて K 上の関数に拡張すると、これは正の実数全体への連続函数となる。 この局所コンパクト体上のモジュールは絶対値の概念の自然な一般化である。実際、実数体 R 上のルベーグ測度 dx に対して任意の区間 (a, b) 上の関数 f(x) を与えるとき ∫ a b f ( x ) d ( s x ) = { s ∫ s − 1 b s − 1 a f ( x ) d x = − s ∫ s − 1 a s − 1 b f ( x ) d x ( s < 0 ) , s ∫ s − 1 a s − 1 b f ( x ) d x ( s > 0 ) . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)d(sx)={\begin{cases}s\int _{s^{-1}b}^{s^{-1}a}f(x)dx=-s\int _{s^{-1}a}^{s^{-1}b}f(x)dx&(s<0),\\[5pt]s\int _{s^{-1}a}^{s^{-1}b}f(x)dx&(s>0).\end{cases}}} となるので、a → −∞, b → ∞ とすれば ∫ R f ( x ) d ( s x ) = | s | ∫ R f ( x ) d x {\displaystyle \int _{\mathbb {R} }f(x)d(sx)=|s|\int _{\mathbb {R} }f(x)dx} となり、d(sx) = |s| dx すなわち、modR(s) = |s| が得られる。また、体の拡大あるいは有限階数の多元環の拡大 L/K が与えられるとき、NL/K を拡大の被約ノルムとして m o d L = m o d K ∘ N L / K {\displaystyle \mathrm {mod} _{L}=\mathrm {mod} _{K}\circ N_{L/K}} が成り立つ。特に、C を複素数体、H を四元数体とすると、それぞれの標準的な絶対値 |•| に対して m o d C ( c ) = | c | 2 , m o d H ( q ) = | q | 4 {\displaystyle \mathrm {mod} _{\mathbb {C} }(c)=|c|^{2},\quad \mathrm {mod} _{\mathbb {H} }(q)=|q|^{4}} などとなる。とくに、局所コンパクト体はモジュールを付値として局所体の構造を持つ。
※この「モジュラー函数」の解説は、「ハール測度」の解説の一部です。
「モジュラー函数」を含む「ハール測度」の記事については、「ハール測度」の概要を参照ください。
Weblioに収録されているすべての辞書からモジュラー函数を検索する場合は、下記のリンクをクリックしてください。
全ての辞書からモジュラー函数
を検索
- モジュラー函数のページへのリンク
