モジュラー変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/17 07:47 UTC 版)
「デデキントのイータ関数」の記事における「モジュラー変換」の解説
テータ関数の虚数変換式により η 3 ( − 1 τ ) = 1 2 ϑ 2 ( 0 , − 1 τ ) ϑ 3 ( 0 , − 1 τ ) ϑ 4 ( 0 , − 1 τ ) = 1 2 − i τ ϑ 4 ( 0 , τ ) − i τ ϑ 3 ( 0 , τ ) − i τ ϑ 2 ( 0 , τ ) = i τ 3 η 3 ( τ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\eta ^{3}\left(-{\frac {1}{\tau }}\right)&={\frac {1}{2}}\vartheta _{2}\left(0,-{\frac {1}{\tau }}\right)\vartheta _{3}\left(0,-{\frac {1}{\tau }}\right)\vartheta _{4}\left(0,-{\frac {1}{\tau }}\right)\\&={\frac {1}{2}}{\sqrt {-i\tau }}\vartheta _{4}(0,\tau ){\sqrt {-i\tau }}\vartheta _{3}(0,\tau ){\sqrt {-i\tau }}\vartheta _{2}(0,\tau )\\&={\sqrt {i\tau ^{3}}}\eta ^{3}(\tau )\\\end{aligned}}} であるが、 τ {\displaystyle \tau } が純虚数であれば両辺ともに実数であるから、 η ( − 1 τ ) = − i τ η ( τ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\eta \left(-{\frac {1}{\tau }}\right)&={\sqrt {-i\tau }}\eta (\tau )\\\end{aligned}}} である。また、 η ( τ + 1 ) = e π i ( τ + 1 ) / 12 ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 π i ( τ + 1 ) m ) = e π i / 12 e π i τ / 12 ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 π i τ m ) = e π i / 12 η ( τ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\eta \left(\tau +1\right)&=e^{\pi {i}(\tau +1)/12}\prod _{m=1}^{\infty }(1-e^{2\pi {i}(\tau +1)m})\\&=e^{\pi {i}/12}e^{\pi {i}\tau /12}\prod _{m=1}^{\infty }(1-e^{2\pi {i}\tau {m}})\\&=e^{\pi {i}/12}\eta \left(\tau \right)\\\end{aligned}}} であるから、イータ関数の24乗は重さ12のモジュラー形式である。 η 24 ( − 1 τ ) = τ 12 η 24 ( τ ) η 24 ( τ + 1 ) = η 24 ( τ ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\eta ^{24}\left(-{\frac {1}{\tau }}\right)=\tau ^{12}\eta ^{24}(\tau )\\&\eta ^{24}\left(\tau +1\right)=\eta ^{24}\left(\tau \right)\end{aligned}}} 実際、モジュラー判別式 Δ {\displaystyle \Delta } の定数倍と一致する。 ( 2 π ) 12 η 24 ( τ ) = Δ ( τ ) . {\displaystyle (2\pi )^{12}\eta ^{24}(\tau )=\Delta (\tau ).}
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