モジュラー曲線のヤコビアン
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/11 21:00 UTC 版)
「谷山–志村予想」の記事における「モジュラー曲線のヤコビアン」の解説
リーマン面 X {\displaystyle X} のヤコビアン(Jacobian（もしくはヤコビ多様体）は X {\displaystyle X} がコンパクト化されたモジュラー曲線 X ( Γ ) {\displaystyle X\left(\Gamma \right)} である場合にはより明示的な表示が出来る。 この場合、 Ω h o l 1 ( X ) {\displaystyle \Omega _{hol}^{1}\left(X\right)} の要素は、ウェイト 2 のカスプ形式 た f ∈ S 2 ( Γ ) {\displaystyle f\in {\mathcal {S}}_{2}\left(\Gamma \right)} と強く結びついている。 与えられた f ∈ S 2 ( Γ ) {\displaystyle f\in {\mathcal {S}}_{2}\left(\Gamma \right)} から作られる 1形式 ω ( f ) {\displaystyle \omega \left(f\right)} は一意的(本質的に、 f ( τ ) d τ {\displaystyle f(\tau )d\tau } に等しい)。つまり、写像 ω : S 2 ( Γ ) → Ω h o l 1 ( X ) , {\displaystyle \omega :{\mathcal {S}}_{2}\left(\Gamma \right)\rightarrow \Omega _{hol}^{1}\left(X\right),} は同相である。よって、その双対写像 ω ∧ : Ω h o l 1 ( X ) ∧ → S 2 ( Γ ) ∧ , {\displaystyle \omega ^{\wedge }:\Omega _{hol}^{1}\left(X\right)^{\wedge }\rightarrow {\mathcal {S}}_{2}\left(\Gamma \right)^{\wedge },} もまた同相であるから S 2 ( Γ ) ∧ {\displaystyle {\mathcal {S}}_{2}\left(\Gamma \right)^{\wedge }} は Ω h o l 1 ( X ( Γ ) ) ∧ {\displaystyle \Omega _{hol}^{1}\left(X\left(\Gamma \right)\right)^{\wedge }} と同一視出来る。よって次のような定義は妥当である； J a c ( X ( Γ ) ) := S 2 ( Γ ) ∧ / ω ∧ ( H 1 ( X ( Γ ) , Z ) ) {\displaystyle \mathrm {Jac} (X\left(\Gamma \right)):={\mathcal {S}}_{2}\left(\Gamma \right)^{\wedge }/\omega ^{\wedge }\left(H_{1}\left(X\left(\Gamma \right),\mathbb {Z} \right)\right)} 。 モジュラー曲線を直接扱わずヤコビアンを扱うことには以下のような理由があることを留意すべきである。1つは、モジュラー曲線にカスプを加えてコンパクト化したリーマン面は一般に種数 g ≥ 0 {\displaystyle g\geq 0} であり、 g > 1 {\displaystyle g>1} の場合、群構造を持たなくなるのに対して、ヤコビアンの方はその場合でも群構造を持っているので扱いやすい点と、もう1つはモジュラー曲線をヤコビアンに埋め込むことができる点である。
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