許容される時空

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許容される時空

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/28 14:08 UTC 版)

「位相的弦理論」の記事における「許容される時空」の解説

弦理論の基本弦は2-次元曲面である。N = (1,1) シグマモデルとして知られている量子場理論はそれぞれの曲面の上で定義される。この理論は曲面から超多様体（英語版）への写像からなる。物理的には、超多様体は時空と解釈され、各々の写像は時空の中の弦の埋め込みと解釈される。 空間のみの時空だけが位相弦を許容する。古典的には、理論が加える超対称性のペアを満たすような時空を選択する必要があるので、実際は N = (2,2) シグマモデルとなる。このことは時空がケーラー多様体であり、H-フラックス（英語版）がゼロと同一視される場合の例である。しかし、一般的な場合では対象空間が一般化されたケーラー多様体のときには、H-フラックスは非自明となる。 今まで、空間だけを背景として通常の弦を記述してきた。これらの弦は決してトポロジカルではない。これらを位相的弦理論とするためには、シグマモデルを1988年にエドワード・ウィッテンが考案した位相的ツイスト（英語版）と呼ばれる過程を通して変形する必要がある。重要な見方として、これらの理論はR-対称性（英語版）として知られている 2つの U(1) 対称性を持っていることで、ローレンツ対称性を回転対称性とR-対称性を組み合わせた変形である。2つのR-対称性のどちらかを使い、2つの異なる理論であるA-モデルとB-モデルとを導くことができる。このツイストの操作の後に、理論の作用がBRST（英語版）完全となり、結果として理論が力学を持たなくなるが、代って全ての観測量が構成のトポロジーのみに依存する。そのような理論のことを位相的弦理論という。 古典力学的にはこの操作（ツイスト）の過程はいつでも可能であるが、量子力学的には U(1) 対称性がアノマリーとなるかもしれない。この場合にはツイストはできない。例えば、H = 0 でケーラーの場合には、A-モデルを導くツイストはいつも可能であるが、B-モデルを導くには時空の第一チャーン類がゼロのときにのみ可能である。このことは時空がカラビ・ヤウであることを意味する．さらに一般的には、(2,2) 理論は2つの複素構造を持っていて、B-モデルは随伴バンドル（英語版）の第一チャーン類の和がゼロとなるときに存在し、他方、A-モデルはチャーン類の差がゼロの時に存在する。ケーラー多様体の場合には、2つの複素構造が同じであり、従って（チャーン類の）差はいつもゼロであるので、A-モデルはいつも存在する。 時空が一般化されたケーラーであるから次元の数は偶数である以外には制限はない。しかしながら球面ではない世界面を持つ全ての相関函数は、時空の複素次元が3でない限りゼロとなるので、複素次元が3である時空が最も興味深い。このことは現象論にとっても幸運なことで、現象論的なモデルでも複素次元が3の空間へコンパクト化された物理的な弦理論をしばしば使う。たとえ同一の空間の上であっても位相的弦理論は物理的弦理論に等価ではないが、ある超対称性を持つ量は2つの理論で一致する。