総和は積分である
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/07 03:00 UTC 版)
数え上げ測度 μ を測度とする測度空間 (S, 2S, μ) が与えられたとき、S の任意の部分集合が μ-可測であるので、S 上の任意の実数値（あるいは複素数値）写像は可測関数ということになる。μ-可測函数が数え上げ測度 μ に関して可積分であるとは、たかだか可算個の点で非零の値を持ち、それらの与える級数が絶対収束していることをいう。このような可積分関数の積分値は対応する級数の和の値ということになる。 高々可算な集合上の関数は、関数が値をとる空間における点列（実数値関数ならば実数の列）だと考えることができる。可積分性に関わる様々な条件を課すことでこのような点列を異なるクラスに分けることが出来る（Lp-空間やソボレフ空間など、函数空間も参照）。 たとえば、可測空間 (N, 2N) の場合を考えると、可測関数 a の数え上げ測度 μ による積分 ∫ N a ( n ) d μ ( n ) {\displaystyle \int _{\mathbb {N} }a(n)\,d\mu (n)} の値は、任意の実数 t に対し At = {n ∈ N | a(n) = t} とすると、a(n)μ(At) = t|At| を任意の t について加え合わせたものである。これは、数列 (an)n∈N を項の値で類別して、同じ値のものはその個数分加えるということであるから、結局は各項 an を一つずつ加えることとなり ∫ N a ( n ) d μ ( n ) = ∑ n ∈ N a n {\displaystyle \int _{\mathbb {N} }a(n)\,d\mu (n)=\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}} が成り立つことが確認できる。特に ∫ N | a ( n ) | d μ ( n ) = ∑ n ∈ N | a n | {\displaystyle \int _{\mathbb {N} }|a(n)|\,d\mu (n)=\sum _{n\in \mathbb {N} }|a_{n}|} だから、関数 a が μ に関して（ルベーグの意味で）可積分であるとは右辺の級数が絶対収束するということと同じである。さらに、μ に関する自乗可積分関数全体の成す集合 L2(N, μ; R) は（狭義の）ヒルベルト空間 l2（係数を明示して l2(R) などとも書く）とよばれ、内積 ( a , b ) = ∫ N a ( n ) b ( n ) d μ ( n ) = ∑ n = 1 ∞ a n b n {\displaystyle (a,b)=\int _{\mathbb {N} }a(n)b(n)\,d\mu (n)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}} (a = (an)n∈N, b = (bn)n∈N ∈ l 2) の定めるノルムに関して完備なノルム空間（つまり広義のヒルベルト空間）である。 また、Λ = {1, 2, ..., n} とおいて、同様のことを可測空間 (Λ, 2Λ) で考えると、Λ 上の実数値関数とは実数の n-組 x = (x1, x2, ..., xn) のことで、その積分の値は有限和 x1 + x2 + … + xn である。 このとき、x が μ-可積分であるとは x の絶対値ノルム（1-ノルム）が有限ということだから、x ∈ Rn は常に積分可能である。つまり、Λ 上の数え上げ測度 μ に関して可積分な実数値関数の空間 L1(Λ, μ; R) は Rn である。同様に、1 ≤ p < ∞ となる p について、関数 x = (x1, x2, ..., xn)∈ Rn が p 乗可積分関数の空間 Lp(Λ, μ; R) に含まれる条件は Rn における p 乗ノルム（p-ノルム） | | x | | p = ( ∑ k = 1 n | x k | p ) 1 / p {\displaystyle ||\mathbf {x} ||_{p}=\left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}} が有限であることになるから、 Lp(Λ, μ; R) = Rn となる。 上で述べたことは、実数を複素数に取り替えた複素数列の場合においても、絶対値を複素数の絶対値とし、内積をエルミート内積に取り替えることで、そのまま通用する。複素数全体の集合 C は R と同様にその絶対値に関して完備だからである。
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