モジュライ空間を構成する方法とは? わかりやすく解説

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モジュライ空間を構成する方法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/01/01 02:21 UTC 版)

モジュライ空間」の記事における「モジュライ空間を構成する方法」の解説

モジュライ函手(あるいは、もっと一般的にはグルーポイド(英語版)(groupoid)の中のファイバー化されカテゴリ英語版)(fibred category))のことばで、モジュライ問題現代的な定式化モジュライ空間の定義を行うことは、グロタンディェック(Grothendieck)(1960/61)にまで遡るその中で彼は、例として複素解析幾何学の中でタイヒミューラー空間英語版)(Teichmüller space)を使い一般的なフレームワークアプローチ主要な問題記述した。特に、話の中では、まず第一にモジュライ問題剛性化することで、モジュライ空間構成する一般的方法述べたさらに詳しくは、モジュライ空間分類する非自明な対象自己同型存在が、詳細モジュライ空間を持つことを不可能とする。しかし、もともとのデータ情報付加し付加した情報を髪して自己同型のみで同一視する方法をとって分類するという変形されモジュライ問題考えることがよくある剛性化され情報をうまく選択すると、変形したモジュライ問題は、(詳細モジュライ空間 T をもつことがあり、適当なヒルベルトスキーム(Hilbert scheme)やクオットスキーム(英語版)(Quot scheme)の部分スキームとして記述されることがよくある剛性化している情報をさらに選ぶと、代数的構造群 G を持つ主バンドル対応するこのように剛性化され問題から元来問題へ、G の作用による商をとることにより戻ることができ、モジュライ空間構成する問題が (ある強い条件課した上で)G の作用での T の商 T/G であるようスキームもしくはより一般的に空間)を見つける問題となる。一般に最後の問題は解をもたないが、しかし、1965年にダヴィッド・マンフォード(David Mumford)により1965年開発され画期的な幾何学的不変式論指摘され適当な条件の下で、実際そのような商が存在することが示された。 これがどのようにして達成されたかを見るため、種数が g > 2 の滑らかな曲線をパラメトライズする問題考える。次数 d > 2g である完備一次系(英語版)(complete linear system)は、射影空間 Pd−g の 1次元部分スキーム同値である。結局、(ある条件を満たす滑らかな曲線一次系は、十分に高い次元射影空間のヒルベルトスキーム埋め込めであろうから、このヒルベルトスキームの中の軌跡 H は一次系の要素変換する PGL(n)作用をもつ。滑らかな曲線モジュライ空間は、従って、射影空間一次系の群による H の商として再現される別の一般的なアプローチとしては、最初にミハイル・アルティン(Michael Artin)によるものがある。彼のアイデアは、分類され種類対象から始め、それの変形理論英語版)(deformation theory)を研究する。このことは、最初無限小(infinitesimal)を構成し、それから予備表現可能定理(prorepresentability theorem)を示し、これらを形式スキーム英語版)(formal scheme)の基底の上対象写像する。次にアレクサンドル・グロタンディーク(Alexandre Grothendieck)のグロタンディーク存在定理英語版)が完備局所環である基底の上求めていた対象もたらす。この対象は、アルティン近似定理英語版)(Artin's approximation theorem)を通し有限生成上の対象により近似できるこの後者の環のスペクトルは、求めているモジュライ空間ある種座標チャートとみなすことができる。これらのチャート互いに貼り合わせて、空間を覆うことができるが、スペクトル合併からモジュライ空間への写像は、一般には、多 対 1 の写像となる。従って、前者の上同値関係定義する本質的にはもし両者互いに同型対象であれば 2点同値である。これがスキーム同値関係もたらし、いつもスキームとなると限らないが、代数的空間英語版)(実際は、注意深くすると、代数的スタック)を与える。

※この「モジュライ空間を構成する方法」の解説は、「モジュライ空間」の解説の一部です。
「モジュライ空間を構成する方法」を含む「モジュライ空間」の記事については、「モジュライ空間」の概要を参照ください。

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