モジュラーな楕円曲線
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/04/27 02:48 UTC 版)
「谷山志村予想」の記事における「モジュラーな楕円曲線」の解説
以下のような手続きでから作られる楕円曲線のことをモジュラーな楕円曲線と呼ぶ。ただし、は、モジュラー曲線にカスプ(cusp、尖点)を加えてコンパクト化したリーマン面、 (ここでは任意の整数であることを表す)、 は上半平面、 である。
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モジュラーな楕円曲線
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/23 20:26 UTC 版)
「谷山–志村予想」の記事における「モジュラーな楕円曲線」の解説
まず記号を準備する。 Γ 0 ( N ) := { ( a b c d ) ∈ S L 2 ( Z ) | ( a b c d ) ≡ ( ∗ ∗ 0 ∗ ) ( mod N ) } {\displaystyle \Gamma _{0}\left(N\right):=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \mathrm {SL} _{2}\left(\mathbb {Z} \right)\mathrel {} \left|\mathrel {} {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\equiv {\begin{pmatrix}*&*\\0&*\end{pmatrix}}{\pmod {N}}\right.\right\}} (ここで ∗ {\displaystyle *} は任意の整数であることを表す)、 H := { z ∈ C | I m z > 0 } {\displaystyle {\mathcal {H}}:=\{z\in \mathbb {C} |\mathrm {Im} z>0\}} は上半平面、 H ∗ := H ∪ Q ∪ { ∞ } {\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}:={\mathcal {H}}\cup \mathbb {Q} \cup \{\infty \}} はそれにカスプ(cusp、尖点)を加えたものである。 S L 2 ( Z ) {\displaystyle SL_{2}\left(\mathbf {Z} \right)} の合同部分群 Γ {\displaystyle \Gamma } に対応するモジュラー曲線 Y ( Γ ) := Γ ∖ H {\displaystyle Y\left(\Gamma \right):=\Gamma \backslash {\mathcal {H}}} にカスプ(cusp、尖点)を加えてコンパクト化したリーマン面を X ( Γ ) := Γ ∖ H ∗ {\displaystyle X\left(\Gamma \right):=\Gamma \backslash {\mathcal {H}}^{*}} と書く。 特に Γ = Γ 0 ( N ) {\displaystyle \Gamma =\Gamma _{0}\left(N\right)} に対応するモジュラー曲線を Y 0 ( N ) {\displaystyle Y_{0}\left(N\right)} 、そのコンパクト化を X 0 ( N ) {\displaystyle X_{0}\left(N\right)} と書く。 S 2 ( Γ ) {\displaystyle {\mathcal {S}}_{2}\left(\Gamma \right)} で Γ {\displaystyle \Gamma } に関するウェイト 2 {\displaystyle 2} のカスプ形式の集合を表す。 さて、以下のような手続きで X 0 ( N ) {\displaystyle X_{0}\left(N\right)} から作られる楕円曲線 E {\displaystyle E} のことをモジュラーな楕円曲線と呼ぶ。
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