離散一様分布 離散一様分布の概要

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離散一様分布

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/03/31 05:59 UTC 版)

離散一様分布

確率質量関数 n = 5 ただし n = b − a + 1
累積分布関数
母数	$a\in (\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots )$ $b\in (\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots )\,$ $n=b-a+1$
台	$k\in \{a,a+1,\dots ,b-1,b\}$
確率質量関数	${\begin{matrix}{\frac {1}{n}}&{\mbox{for }}a\leq k\leq b\ \\0&{\mbox{otherwise }}\end{matrix}}$
累積分布関数	${\begin{matrix}0&{\mbox{for }}k<a\\{\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{n}}&{\mbox{for }}a\leq k\leq b\\1&{\mbox{for }}k>b\end{matrix}}$
期待値	${\frac {a+b}{2}}$
中央値	${\frac {a+b}{2}}$
最頻値	N/A
分散	${\frac {(b-a+1)^{2}-1}{12}}={\frac {n^{2}-1}{12}},$
歪度	$0$
尖度	$-{\frac {6(n^{2}+1)}{5(n^{2}-1)}}$
エントロピー	$\ln(n)$
モーメント母関数	${\frac {e^{at}-e^{(b+1)t}}{-}}->{n(1-e^{t})}$
特性関数	${\frac {e^{iat}-e^{i(b+1)t}}{n(1-e^{it})}}$

確率変数が n 個の値 k₁, k₂, …, k_n を同じ確率でとりうるとき、離散一様分布と言える。任意の k_i の確率は 1/n である。離散一様分布の単純な例としてサイコロがある。その場合の k がとりうる値は 1, 2, 3, 4, 5, 6 で、1回サイコロを振ったとき、それぞれの値が出る確率は 1/6 である。2個のサイコロを振って和をとると、もはや一様分布ではなくなり、とりうる値（2 から 12）によって確率が変わってくる。

離散一様分布の確率変数がとりうる値が実数の場合、累積分布関数を退化分布を使って表すことができる。すなわち、

$F(k;a,b,n)={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}H(k-k_{i})$

ここで、ヘヴィサイドの階段関数 $H(x-x_{0})$ は、x₀ を中心とする退化分布の累積分布関数である。この式は、各転移点で一貫した規定が使われると想定している。