一般相対性理論の概説 一般相対性理論の概説の概要

ウィキペディア

一般相対性理論の概説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/04/03 01:27 UTC 版)

カッシーニ宇宙探査機による一般相対性理論の高精度の試験（イメージ図）。地球と探査機の間で送信される無線信号（緑の波）は、太陽の質量による時空の歪み（青線）により遅延する。

一般相対性理論によると、質量間の観測される重力効果は時空のゆがみから生じる。

20世紀初頭まで、ニュートンの万有引力の法則は質量間の重力の確実な記述として200年以上にわたり受け入れられていた。ニュートンのモデルにおいては、重力は質量を持つ物体間の引力の結果である。ニュートンでさえその力の未知の性質に苦悩したが、この基本的な枠組みは運動を記述するのに非常に上手くいった。

実験や観測は、アインシュタインの重力の記述が、水星や他の惑星の軌道のわずかな異常などニュートンの法則では説明できないいくつかの効果を説明していることを示している。一般相対性理論は重力波、重力レンズや重力時間膨張として知られる時間に対する重力の影響など、重力の新たな効果を予測する。これらの予測の多くは、実験、観測、近年では重力波により確認されている。

一般相対性理論は現代天体物理学において不可欠な道具に発展した。これにより重力の効果が光でさえも逃げ出すことができないほど強い空間領域であるブラックホールの現在の理解の基礎が提供されている。これらの強い重力は特定の種類の天体（活動的な銀河核やマイクロクエーサーなど）から放出される強い放射の原因であると考えられている。一般相対性理論は宇宙論の標準ビッグバンモデルの枠組みの一部でもある。

一般相対性理論は唯一の重力の相対論的理論ではないが、実験データと矛盾しない最も単純な理論である。それでも多くの未解決の問題が残っており、その中でも最も基本的なものは一般相対性理論は量子物理学の法則とどのように調和し、完全で自己矛盾のない量子重力の理論を生成できるかというものである。

特殊相対性理論から一般相対性理論へ

1905年9月、アルベルト・アインシュタインはニュートンの運動法則を電気力学（電荷を持つ物体間の相互作用）と調和させる特殊相対性理論を発表した。特殊相対性理論は空間と時間の新たな概念を提案することにより、物理学の全てに対して新たな枠組みを導入した。当時受け入れられていたいくつかの物理理論はこの枠組みと矛盾していた。鍵となる例は質量により物体が受ける相互引力を説明するニュートンの重力理論である。

アインシュタイン含む何人かの物理学者は、ニュートンの重力法則と特殊相対性理論を調和させる理論を探究し、アインシュタインの理論のみが実験や観測と一致することが分かった。理論の基本的な考えを理解するために、1907年から1915年の自由落下の観測者など単純な思考実験から重力の完全な幾何理論までのアインシュタインの思考を追うことは勉強になることである^[1]。

等価原理

自由落下するエレベーターに乗っている人は無重力状態を感じる。物体は静止したまま浮遊するか一定速度で漂流する。エレベーター内の全てが一緒に落下しているため、重力効果を観測することができない。このように、自由落下している観測者が経験するものと大きな重力源から遠く離れた深宇宙の観測者が経験するものは区別できない。これらの観測者はアインシュタインが特殊相対性理論において特権的（「慣性」）観測者と書いた者であり、光はこの観測者に対して一定速度で直線に沿って進む^[2]。

アインシュタインは、特殊相対性理論における無重力の観測者と慣性の観測者が同様に経験することが重力の基本的性質を現していると仮定し、これを一般相対性理論の基礎として等価原理で定式化した。大まかに言うと、この原理は自由落下するエレベーターにいる人は自由落下していることを知ることはできないというものである。このような自由落下環境における全ての実験は、静止している時や全ての重力源から遠く離れた深宇宙で一様に動いている観測者に対するであろうものと同じ結果になる^[3]。

重力と加速度

加速するロケット（左）と地球上（右）において床に落ちるボール。効果は同じである。

重力のほとんどの効果は自由落下で消えるが、重力の効果と同じように見える効果は加速された座標系により作り出される。密室にいる観測者は次のどれに該当するか分からない。

• 部屋は地表上にあり、物体は重力により引き下げられているため、物体が床に落ちている。
• 部屋が宇宙空間にあり9.81 m/s² で加速しておりあらゆる重力源から離れているロケット上にあり、物体が床に落ちている。物体は加速する車の運転手を座席の後ろに押す同じ「慣性力」により床に引っ張られる。

逆に、加速される基準系で観測される効果は対応する強度の重力場でも観測される必要がある。次節でも説明するように、アインシュタインはこの原理により1907年に新しい重力の効果を予測することができた。

加速される基準系の観測者は、物理学者が見かけの力と呼ぶものを導入して自分自身と周りの物体が経験した加速を説明する必要がある。一例として加速する車の運転手を座席へ押し込む力についてはすでに述べた。もう一つの例としては頂点のように回転しようとすると腕が上下に引っ張られると感じる力がある。アインシュタインの主な洞察は、一定の身近な地球の重力場の引き寄せる力は、これらの見かけの力と基本的に同じであるというものであった^[4]。見かけの力の大きさは常にそれが作用する物体の質量に比例するように見える。例えば、運転席は車と同じ速度で運転者を加速させるのに十分な力を働かせる。アインシュタインは類推により重力場にある物体は、ニュートンの重力法則で具体化されているようにその質量に比例した重力を感じるべきだと提案した^[5]。

物理的結果

1907年の段階ではアインシュタインは一般相対性理論の完成まで8年を残していたが、新たな理論を発展するための出発点である等価原理に基づいた新しい検証可能な予測を多く行うことができた^[6]。

光波が重力場に対して上方に動くときの光の重力の赤方偏移（下の黄色の星により起こされる）

最初の新たな効果は、光の重力周波数シフトである。加速するロケット船に乗っている2人の観測者を想定する。このような船に乗ると「上」と「下」という自然な概念がある。船が加速する方向は「上」であり、くっついていない物体は反対方向に加速し「下向き」に落ちる。観測者の1人がもう1人よりも「高い」と仮定する。低いところの観測者が高いところの観測者へ光信号を送信すると特殊相対性理論から計算されるように、加速度により光が赤方偏移し、2番目の観測者は最初の観測者よりも低い周波数の光を測定する。逆に、高い観測者から低い観測者に送られる光は青方偏移、つまり高い周波数にシフトする^[7]。アインシュタインは、このような周波数シフトは重力場でも観測される必要があると主張した。これは左図に示されている。これは、重力加速度に逆らって上方向に進むにつれて徐々に赤方偏移する光波を示している。以下に説明するようにこの効果は実験的に確認されている。

この重力による周波数シフトは重力による時間の遅れに対応する。「高い」観測者は「低い」観測者よりも低い周波数を持つように同じ光波を測定するため、高い観測者に対しては時間が早く経過しなければならない。したがって、重力場において低い観測者の時間は遅く過ぎていく。

各々の観測者について、自身の基準系内で静止している事象もしくは過程に対する時間の流れに観測可能な変化がないことを強調することは重要である。各観測者の時計で計時される5分卵(five-minute-eggs)は 同じ一貫性を持つ。各時計で1年がたつと各観測者はその分老ける、つまり、各時計はその近くで発生する全ての過程と完全な一致を見る。別の観測者間で時計が比較されるときのみ、高い観測者よりも低い観測者の方が時間の進みが遅いことに気づくことができる^[8]。この効果は微小であるが、以下で記述されるように複数の実験で実験的に確認されている。

アインシュタインは同様の方法で重力による光のゆがみを予測した。重力場においては、光は下向きにゆがむ。定量的には、彼の結果は2分の1であった。正しい導出には等価原理だけでなく一般相対性理論のより完全な定式化を要する^[9]。

潮汐効果

地球の中心に向かって落下する2つの物体は、落下するにつれて互いに向かって加速する。

重力効果と慣性効果の等価性は、重力の完全な理論を構成するものではない。地表上の自分の位置近くで重力を説明する場合、基準系が自由落下していないことに注意し見かけの力を予期することで、適切な説明が提供される。しかし、地球のある側で自由落下する基準系は、地球の反対側の人々が反対方向に引っ張る重力を経験する理由を説明できない。

同じ効果のより基本的な表れには、地球に向かって並んで落下している2つの物体が含まれる。これらの物体と並んで自由落下している基準系においては、無重力で空間に停止しているように見えるが、正確にはそうではない。これらの物体は正確に同じ方向に落ちるのではなく、空間内の1つの点、地球の重心に向かって落下する。結果としてもう1つの物体に向かう各物体の運動の成分がある（図参照）。自由落下するリフトなどの小さな環境ではこの相対加速度は非常に小さく、地球の反対側のスカイダイバーにとっては効果が大きくなる。これらの力の違いは地球の海の潮汐の原因でもあるため、この現象には「潮汐効果」という名前が使われている。

慣性と重力の等価性では潮汐効果を説明できない。重力場の変動を説明できないからである^[10]。これを説明するためには、物質（地球の大きな質量など）が周囲の慣性環境に影響を及ぼす方法を説明する理論が必要である。

加速度から幾何へ

重力と加速度の等価性、および潮汐力の役割を探究する中で、アインシュタインは表面の幾何学との類似性をいくつか発見した。1つの例は慣性基準系（自由粒子が一定速度で直線経路に沿って滑走する）から回転基準系（粒子の運動を説明するために見かけの力に対応する追加の項を導入する必要がある）への移行である。これはデカルト座標系（座標線が直線）から曲線座標系（座標線が直線である必要はない）への移行と類似している。

より深みを持つ類似は潮汐力を曲率と呼ばれる表面の性質と関連付ける。重力場の場合、潮汐力の有無が、自由落下する基準系を選択することにより重力の影響を取り除くことができるかどうかを決定する。同様に曲率の有無が表面が平面と同等であるかどうかを決定する。1912年の夏、これらの類似にインスピレーションを受け、重力の幾何学的定式化を探究した^[11]。

幾何学の基本的な物体（点、線、三角形）は伝統的に3次元空間もしくは2次元表面で定義される。1907年、スイス工科大学でアインシュタインの数学教授を務めていたヘルマン・ミンコフスキーはアインシュタインの特殊相対性理論の幾何学的定式化を導入した。ここには空間だけでなく時間も含まれていた。この新しい幾何学の基本的な実体は4次元時空である。動く物体の軌道は時空の曲線である。方向を変えずに一定速度で移動する物体の軌道は直線に対応する^[12]。

表面については、19世紀初頭にカール・フリードリヒ・ガウスにより平面の幾何学から一般的な曲面の幾何学への一般化が記述されていた。この記述は1850年代にベルンハルト・リーマンにより導入された数学的形式主義における高次元空間に一般化された。アインシュタインはリーマン幾何学の助けを借りて重力の幾何学的記述を定式化した。ここでは曲面が通常の平面の一般化であるようにミンコフスキーの時空が歪んで曲がった時空に置き換えられる。埋め込み図は、教育の文脈で曲がった時空を説明するのに使われる^[13][14]。

アインシュタインはこの幾何学的類推の妥当性に気づいたのち、欠けている理論の礎石、物質が時空の曲率にどのように影響するかを記述する方程式を見つけ出すのに3年を要した。今日アインシュタイン方程式（より正確にはアインシュタインの重力場方程式）として知られているものを定式化したのち、1915年後半にプロイセン科学アカデミーのいくつかのセッションで自身の重力の理論を発表し、1915年11月15日の最終プレゼンで最高潮に達した^[15]。

幾何学と重力

ジョン・ホイーラーを言い換えると、アインシュタインの重力の幾何学理論は次のように要約できる: 時空は物質にどのように動くかを伝え、物質は時空にどのように曲がるかを伝える^[16]。これが意味することは次の3つのセクションで処理される。これらのセクションでは、いわゆる試験粒子の運動を調べる、物質のどの特性が重力源として機能するかを調べる、最後にアインシュタイン方程式に導入されることでこれらの物質の特性を時空の曲率と関連付ける。

重力場の調査

集束測地線: 赤道（赤線））において平行である2本の経度線（緑線）は極で1点に集まる。

物体の重力の影響をマッピングするために、物理学者がプローブもしくは試験粒子と呼ぶものを考えるのは有用である: 粒子は重力の影響を受けるが、非常に小さく軽いため自身の重力効果を無視できる。重力やその他の外力がない場合、試験粒子は一定速度で直線に沿って移動する。時空の言葉では、このことは試験流が時空の直線の世界線に沿って移動するということと同等である。重力がある場合、時空は非ユークリッド、曲であり、曲がった時空では直線の世界線は存在しない場合がある。代わりに、試験粒子は測地線と呼ばれる線に沿って移動する。測地線とは「可能な限り直線」であり、試験粒子は曲率を考慮して始点と終点の間の最短経路をたどる。

単純な類似は以下の通りである。測地学（地球の大きさと形状を測定する科学）において測地線（英語のgeodesicはギリシア語で地球を意味する"geo"と分割を意味する"daiein"に由来）は地表上の2点間の最短ルートである。およそこのようなルートは経線や赤道などの大円の部分である。これらの経路はたしかにまっすぐではない。というのは、単に地表の曲率に従う必要があるからである。しかしこの制約を受けるが、可能な限り直線である。

測地線の性質は直線の性質とは異なる。例えば、平面上では平行線が交わることはないが地表上の測地線ではそうではない。例えば経線どうしは赤道において平行であるが極で交わる。同様に自由落下する試験粒子の世界線は時空測地線であり、時空において可能な限り直線である。しかし、これと特殊相対性理論の無重力次元で描かれる真の直線の間には大きな違いがある。特殊相対性理論においては、平行測地線は平行のままである。潮汐効果のある重力場では一般的にそうではない。例えば2つの物体が互いに相対的に静止しているがその後地球の重力場に落とされる場合、それらは地球の中心に向かって落ちるように互いに向かって移動する^[17]。

惑星や他の天体と比較して、日常生活の物体（人、車、家、山でさえも）はほとんど質量を持たない。このような物体が関係する場合、試験粒子の振る舞いを支配する法則で何が起きるかを説明するのに十分である。特に、測地線の経路から試験粒子を逸らすためには外力を加える必要がある。誰かが座っている椅子は外向き上向きの力を加え、人が地球の中心に向かって自由落下し地球中心とそれらの間に物質がなければあったであろう測地線に従うことを妨げる。このようにして、一般相対性理論は地表上での重力の日常的な経験を、重力が下向きに引っ張るのではなく、外力が上向きに押すものとして説明する。これらの力は全ての物体が従ったであろう測地線から地表上にある全ての物体を逸らす^[18]。自身の重力の影響を無視できない物質物体の場合、運動の法則は試験粒子の場合よりもやや複雑であるが、時空が物質に対してどのように動くかを伝えているのは事実である^[19]。

重力源

ニュートンによる重力の記述では、重力は物質により引き起こされる。より正確には、物質物体の特定の特性である質量により引き起こされる。アインシュタインの理論および関連の重力理論においては、時空のあらゆる点における曲率も存在する物質すべてにより引き起こされる。ここでも質量は物質の重力の影響を決定する重要な特性である。しかし、重力の相対論的理論においては、質量が唯一の重力源ではない。相対性理論は質量をエネルギーと、エネルギーを運動量と結び付ける。

E = mc²という式で表される質量とエネルギーの等価性は、特殊相対性理論の最も有名な結果である。相対性理論において、質量とエネルギーは1つの物理量を表す2つの異なる方法である。物理系がエネルギーを持つ場合、これに対応する質量もあり、逆も然りである。特に、核や分子などの系の温度や結合エネルギーなどエネルギーに関連する物体の全ての特性は、物体の質量に寄与し、すなわち重力源としてはたらく^[20]。

特殊相対性理論において、エネルギーは運動量と密接に関連している。この理論では時空と同じように、時空、エネルギー、運動量と呼ばれるより包括的な実体の異なる面は、物理学者が4元運動量と呼ぶ統一された4次元量の異なる面にすぎない。その結果、エネルギーが重力源である場合、運動量も重力源でなければならない。同じことがエネルギーと運動量に直接関連する量、つまり内部圧力と張力にもあてはまる。以上をまとめると、一般相対性理論において質量、エネルギー、運動量、圧力、張力が重力源として働く。これらは時空にどのように曲がるかを伝える。理論の数学的定式化では、これらの量は全てエネルギー・運動量テンソルと呼ばれるより一般的な物理量のある面にすぎない^[21]。

アインシュタイン方程式

アインシュタイン方程式は一般相対性理論のセンターピースである。これにより、数学の言葉を用いた時空幾何学と物質の性質との関係の正確な定式化が提供される。もっと具体的には空間（もしくは時空）の幾何学的特性が、メトリックと呼ばれる量で記述されるリーマン幾何学の概念を用いて定式化される。メトリックは、曲空間（もしくは時空）における距離と角度の基本的な幾何学的概念を計算するために必要な情報をエンコードする。

経度30度の差に対応する、異なる緯度における距離

地表のような球面は簡単な例である。表面上の任意の点の位置は地理的な緯度と経度の2つの座標で記述される。右図に示すように、平面のデカルト座標とは異なり座標の違いは表面上の距離と同じではない。赤道にいる場合、西への経度30度の移動（マゼンタ色の線）はおよそ3,300キロメートル (2,100 mi)であるのに対し緯度55度にいる場合は西への経度30度の移動（青色の線）はわずか 1,900キロメートル (1,200 mi)である。したがって座標は球面の幾何学、実際にはもっと複雑な空間や時空の幾何学を記述するのに十分な情報を提供してくれない。その情報は正確にメトリックでエンコードされるものであり、このメトリックは表面（もしくは空間、時空）の各点で定義される関数であり、座標の差異を距離の差異に関連付ける。あらゆる与えられた曲線の長さや2つの曲線が交わる角度など、幾何学において重要なほかの全ての量は、このメトリック関数から計算できる^[22]。

メトリック関数と点間の変化率を用いてリーマン曲率テンソルと呼ばれる幾何学的な量を定義できる。これは、各点で空間もしくは時空がどのように曲がるかを正確に記述する。一般相対性理論において、メトリックとリーマン曲率テンソルは時空の各点で定義された量である。すでに述べたように、時空の物質内容は別の量、エネルギー・運動量テンソル Tを定義し、「時空は物質にどのように動くかを伝え、物質は時空にどのように曲がるかを伝える」という原則はこれらの量が互いに関連しなければならないことを意味する。アインシュタインはリーマン曲率テンソルとメトリックを用いて現在アインシュタインテンソルと呼ばれ時空の曲がり方のいくつかの側面を記述する別の幾何学的量 G を定義することによりこの関係を定式化した。すると、アインシュタイン方程式は

${\displaystyle \mathbf {G} ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\mathbf {T} ,}$

となる。すなわち、定数倍まで量 G（曲率を測定する）は量 T（物質内容を測定する）と同等である。ここでGはニュートン重力の重力定数、cは特殊相対性理論による光速である。

量 G と T はそれぞれ時空の座標のいくつかの関数により決定されるため、この式は複数形Einstein's equationsと呼ばれることが多く、この式はこれらの成分関数と同等である^[23]。これらの方程式の解は時空の特定の幾何学を記述する。例えば、シュワルツシルト解は恒星やブラックホールなど球体で非回転の質量の周りの幾何学を記述するが、カー解は回転するブラックホールを記述する。他の解によって重力波が記述され、フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー解の場合、膨張する宇宙を記述することができる。最も単純な解は曲がっていないミンコフスキー時空であり、特殊相対性理論により記述される^[24]。